2016 AMC 12B Problema 18

Question

¿Cuál es el área de la región encerrada por la gráfica de la ecuación

x^2+y^2=|x|+|y|

?

What is the area of the region enclosed by the graph of the equation

x^2+y^2=|x|+|y|?

\pi+\sqrt2

\pi+2

\pi+2\sqrt2

2\pi+\sqrt2

2\pi+2\sqrt2

Respuesta: B

Conceptos:completar el cuadrado simetría área del círculo

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

La gráfica es simétrica respecto a ambos ejes; en el primer cuadrante la ecuación es

x^2+y^2=x+y

.

The graph is symmetric about both axes; in the first quadrant the equation is

x^2+y^2=x+y

Pista grande:

Completa el cuadrado para obtener

\left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac12\right)^2 =\tfrac12;

en ese cuadrante la región es un triángulo rectángulo más un semicírculo.

Complete the square to

\left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac12\right)^2 =\tfrac12;

in that quadrant the region is a right triangle plus a semicircle

Solución:

Por simetría, considera el primer cuadrante, donde la ecuación es

x^2+y^2=x+y,

o

\left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac12\right)^2=\tfrac12.

Esta es una circunferencia centrada en

\left(\tfrac12,\tfrac12\right)

que pasa por

(1,0)

y

(0,1);

como el centro es el punto medio de esa cuerda, la región encerrada en el primer cuadrante es el triángulo rectángulo con catetos hacia

(1,0)

y

(0,1)

(área

\tfrac12

) más un semicírculo de radio

\dfrac{\sqrt2}{2}

(área

\dfrac\pi4

). Multiplicando por

4

para todos los cuadrantes se obtiene

4\left(\tfrac12+\tfrac\pi4\right)=\pi+2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By symmetry, consider the first quadrant, where the equation is

x^2+y^2=x+y,

or

\left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac12\right)^2=\tfrac12.

This is a circle centered at

\left(\tfrac12,\tfrac12\right)

passing through

(1,0)

and

(0,1);

since the center is the midpoint of that chord, the enclosed first-quadrant region is the right triangle with legs to

(1,0)

and

(0,1)

(area

\tfrac12

) plus a semicircle of radius

\dfrac{\sqrt2}{2}

(area

\dfrac\pi4

). Multiplying by

4

for all quadrants gives

4\left(\tfrac12+\tfrac\pi4\right)=\pi+2.

Thus, the correct answer is B.