2015 AMC 12A Problema 23

Question

Sea

S

un cuadrado de lado

1.

Se eligen dos puntos de forma independiente y al azar sobre los lados de

S.

La probabilidad de que la distancia en línea recta entre los puntos sea al menos

\dfrac12

es

\dfrac{a - b\pi}{c},

donde

a,

b,

y

c

son enteros positivos y

\gcd(a, b, c) = 1.

¿Cuánto vale

a + b + c

?

Let

S

be a square of side length

1.

Two points are chosen independently at random on the sides of

S.

The probability that the straight-line distance between the points is at least

\dfrac12

is

\dfrac{a - b\pi}{c},

where

a,

b,

and

c

are positive integers and

\gcd(a, b, c) = 1.

What is

a + b + c?

59

60

61

62

63

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Condiciona según si los dos puntos están en el mismo lado, en lados opuestos o en lados adyacentes

Condition on whether the two points lie on the same side, opposite sides, or adjacent sides

Pista grande:

El caso de lados adyacentes produce el término

\pi

mediante un cuarto de círculo de radio

\dfrac12

The adjacent-sides case produces the

\pi

term via a quarter-circle of radius

\dfrac12

Solución:

El segundo punto está en el mismo lado que el primero con probabilidad

\dfrac14,

en el lado opuesto con probabilidad

\dfrac14,

y en un lado adyacente con probabilidad

\dfrac12.

Lados opuestos: la distancia siempre es al menos

1 \ge \dfrac12

, probabilidad

1.

Mismo lado: para los puntos

(a, 0)

y

(b, 0),

la condición

|a - b| \ge \dfrac12

tiene probabilidad

\dfrac14.

Lados adyacentes: para los puntos

(a, 0)

y

(0, b),

la condición

\sqrt{a^2 + b^2} \ge \dfrac12

es la región fuera de un cuarto de círculo de radio

\dfrac12,

con probabilidad

1 - \dfrac14\pi\left(\dfrac12\right)^2 = 1 - \dfrac{\pi}{16}.

La probabilidad total es

\begin{aligned} &\dfrac14\cdot 1 + \dfrac14\cdot\dfrac14 \\ &\quad {}+ \dfrac12\left(1 - \dfrac{\pi}{16}\right) \\ &\quad = \dfrac{26 - \pi}{32}. \end{aligned}

Así

a + b + c = 26 + 1 + 32 = 59.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The second point is on the same side as the first with probability

\dfrac14,

on the opposite side with probability

\dfrac14,

and on an adjacent side with probability

\dfrac12.

Opposite sides: the distance is at least

1 \ge \dfrac12

always, probability

1.

Same side: for points

(a, 0)

and

(b, 0),

the condition

|a - b| \ge \dfrac12

has probability

\dfrac14.

Adjacent sides: for points

(a, 0)

and

(0, b),

the condition

\sqrt{a^2 + b^2} \ge \dfrac12

is the region outside a quarter-circle of radius

\dfrac12,

with probability

1 - \dfrac14\pi\left(\dfrac12\right)^2 = 1 - \dfrac{\pi}{16}.

The total probability is

\begin{aligned} &\dfrac14\cdot 1 + \dfrac14\cdot\dfrac14 \\ &\quad {}+ \dfrac12\left(1 - \dfrac{\pi}{16}\right) \\ &\quad = \dfrac{26 - \pi}{32}. \end{aligned}

Thus

a + b + c = 26 + 1 + 32 = 59.

Thus, the correct answer is A.