2014 AMC 12B Problema 18

Question

Los números

1,

2,

3,

4,

5

se van a acomodar en un círculo. Un arreglo es malo si no es cierto que para cada

n

desde

1

hasta

15

se pueda encontrar un subconjunto de los números que aparecen consecutivamente en el círculo cuya suma sea

n.

Los arreglos que difieren solo por una rotación o una reflexión se consideran iguales. ¿Cuántos arreglos malos diferentes hay?

The numbers

1,

2,

3,

4,

5

are to be arranged in a circle. An arrangement is bad if it is not true that for every

n

from

1

to

15

one can find a subset of the numbers that appear consecutively on the circle that sum to

n.

Arrangements that differ only by a rotation or a reflection are considered the same. How many different bad arrangements are there?

1

2

3

4

5

Respuesta: B

Conceptos:arreglos circulares conteo complementario análisis por casos

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Las sumas

1

hasta

5

siempre se pueden lograr con un solo número.

Sums

1

through

5

are always achievable with a single number

Pista grande:

Si un bloque consecutivo suma

n,

su complemento suma

15-n,

así que solo

6

y

7

pueden fallar.

If a consecutive block sums to

n,

its complement sums to

15-n,

so only

6

and

7

can fail

Solución:

Cualquier número por sí solo cubre las sumas de

1

a

5.

Si un bloque consecutivo suma

n,

los números restantes forman un bloque consecutivo que suma

15 - n,

así que también quedan cubiertas automáticamente las sumas de

10

a

14

. Por tanto, un arreglo es malo solo si no produce

6

o

7.

Si no se puede formar

6

, podemos rotar y reflejar para que el orden sea

1bc5e.

El par

\{b,c\}

no puede ser

\{2,3\}

ni

\{2,4\},

así que

e=2;

evitar el bloque

213

obliga entonces a

14352.

Si no se puede formar

7

, escribimos el orden como

2bc5e.

Ahora

\{b,c\}

no puede ser

\{3,4\}

ni

\{1,4\},

así que

e=4,

y evitar

421

obliga a

23154.

Estos son los únicos dos arreglos malos salvo rotación y reflexión.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Any single number covers sums

1

through

5.

If a consecutive block sums to

n,

the remaining numbers form a consecutive block summing to

15 - n,

so sums

10

through

14

are automatically covered as well. Thus an arrangement is bad only if it fails to produce

6

or

7.

If

6

cannot be formed, rotate and reflect so the order is

1bc5e.

The pair

\{b,c\}

cannot be

\{2,3\}

or

\{2,4\},

so

e=2;

avoiding the block

213

then forces

14352.

If

7

cannot be formed, write the order as

2bc5e.

Now

\{b,c\}

cannot be

\{3,4\}

or

\{1,4\},

so

e=4,

and avoiding

421

forces

23154.

These are the only two bad arrangements up to rotation and reflection.

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12B Problema 18

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años