2014 AMC 12A Problema 21

Question

Para todo número real

x,

sea

\lfloor x\rfloor

el mayor entero que no excede a

x,

y sea

f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right).

El conjunto de todos los números

x

tales que

1\le x\lt2014

y

f(x)\le1

es una unión de intervalos disjuntos. ¿Cuál es la suma de las longitudes de esos intervalos?

For every real number

x,

let

\lfloor x\rfloor

denote the greatest integer not exceeding

x,

and let

f(x)=\lfloor x\rfloor\left(2014^{\,x-\lfloor x\rfloor}-1\right).

The set of all numbers

x

such that

1\le x\lt2014

and

f(x)\le1

is a union of disjoint intervals. What is the sum of the lengths of those intervals?

1

\dfrac{\log2015}{\log2014}

\dfrac{\log2014}{\log2013}

\dfrac{2014}{2013}

2014^{\frac{1}{2014}}

Respuesta: A

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo telescópica

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Escribe

x=n+r

con

n=\lfloor x\rfloor

y

0\le r\lt1,

así que

f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right)

.

Write

x=n+r

with

n=\lfloor x\rfloor

and

0\le r\lt1,

so

f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right)

Pista grande:

La condición

f(x)\le1

da

0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}

; suma estas longitudes y telescopa.

The condition

f(x)\le1

gives

0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}

; sum these lengths and telescope

Solución:

Escribe

x=n+r

con entero

n

(

1\le n\le2013

) y

0\le r\lt1.

Entonces

f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right),

y

f(x)\le1

se convierte en

2014^{\,r}\le1+\dfrac1n,

es decir

0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}.

Cada

n

aporta un intervalo de longitud

\log_{2014}\dfrac{n+1}{n},

así que el total es

\begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write

x=n+r

with integer

n

(

1\le n\le2013

) and

0\le r\lt1.

Then

f(x)=n\left(2014^{\,r}-1\right),

and

f(x)\le1

becomes

2014^{\,r}\le1+\dfrac1n,

i.e.

0\le r\le\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}.

Each

n

contributes an interval of length

\log_{2014}\dfrac{n+1}{n},

so the total is

\begin{gathered} \sum_{n=1}^{2013}\log_{2014}\dfrac{n+1}{n}\\ =\log_{2014}\!\left(\dfrac21\cdot\dfrac32\cdots\dfrac{2014}{2013}\right)\\ =\log_{2014}2014=1. \end{gathered}

Thus, the correct answer is A.