2014 AMC 12A Problema 18

Question

El dominio de la función

\tiny f(x)=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)\right)

es un intervalo de longitud

\dfrac{m}{n}

, donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale

m+n

?

The domain of the function

\tiny f(x)=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)\right)

is an interval of length

\dfrac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. What is

m+n?

19

31

271

319

511

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo desigualdad

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pela los logaritmos de afuera hacia adentro, exigiendo que cada argumento sea positivo.

Peel the logarithms from the outside in, requiring each argument to be positive

Pista grande:

Recuerda que las bases menores que

1

invierten las desigualdades; traduce cada condición de positividad sucesiva antes de pasar al siguiente logaritmo interior.

Remember that bases below

1

reverse inequalities; translate each successive positivity condition before moving to the next inner logarithm

Solución:

Trabajando desde afuera,

f

está definida exactamente cuando

\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)

\gt0,

lo que equivale a

\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\gt1.

Como la base

\tfrac14\lt1,

esto significa

0\lt\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\lt\tfrac14,

de donde

1\lt\log_{\frac{1}{16}}x\lt16^{\frac{1}{4}}=2.

Como

\tfrac{1}{16}\lt1,

esto se invierte a

\left(\tfrac{1}{16}\right)^2\lt x\lt\left(\tfrac{1}{16}\right)^1,

es decir

\tfrac{1}{256}\lt x\lt\tfrac{1}{16}.

La longitud es

\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{256}=\tfrac{15}{256},

así que

m+n=15+256=271.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Working from the outside,

f

is defined exactly when

\log_4\!\left(\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)

\gt0,

which is equivalent to

\log_{\frac{1}{4}}\!\left(\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\gt1.

Since the base

\tfrac14\lt1,

this means

0\lt\log_{16}\!\left(\log_{\frac{1}{16}}x\right)\lt\tfrac14,

hence

1\lt\log_{\frac{1}{16}}x\lt16^{\frac{1}{4}}=2.

As

\tfrac{1}{16}\lt1,

this reverses to

\left(\tfrac{1}{16}\right)^2\lt x\lt\left(\tfrac{1}{16}\right)^1,

i.e.

\tfrac{1}{256}\lt x\lt\tfrac{1}{16}.

The length is

\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{256}=\tfrac{15}{256},

so

m+n=15+256=271.

Thus, the correct answer is C.