2013 AMC 12B Problema 25

Question

Sea

G

el conjunto de polinomios de la forma

\begin{aligned} &P(z) = z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots \\ &\quad {}+ c_2 z^2 + c_1 z + 50, \end{aligned}

donde

c_1,

c_2,

\ldots,

c_{n-1}

son enteros y

P(z)

tiene

n

raíces distintas de la forma

a + ib

con

a

y

b

enteros. ¿Cuántos polinomios hay en

G

?

Let

G

be the set of polynomials of the form

\begin{aligned} &P(z) = z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots \\ &\quad {}+ c_2 z^2 + c_1 z + 50, \end{aligned}

where

c_1,

c_2,

\ldots,

c_{n-1}

are integers and

P(z)

has

n

distinct roots of the form

a + ib

with

a

and

b

integers. How many polynomials are in

G?

288

528

576

992

1056

Respuesta: B

Conceptos:polinomio número complejo conteo de factores análisis por casos

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Los coeficientes reales emparejan las raíces no reales como conjugadas, así que

P(z)

se factoriza en piezas lineales

(z - c)

y cuadráticas

z^2 - 2az + (a^2 + b^2)

, cada una con término constante que divide a

50

.

Real coefficients pair nonreal roots as conjugates, so

P(z)

factors into linear

(z - c)

and quadratic

z^2 - 2az + (a^2 + b^2)

pieces, each with constant term dividing

50

Pista grande:

Para cada divisor

d

de

50,

cuenta los factores básicos de magnitud

d

(soluciones de

a^2 + b^2 = d,

más

z \pm d

), luego multiplica las opciones para que los términos constantes multipliquen a

50

.

For each divisor

d

of

50,

count the basic factors of magnitude

d

(solutions of

a^2 + b^2 = d,

plus

z \pm d

), then multiply choices so the constant terms multiply to

50

Solución:

Como los coeficientes son reales, las raíces no reales aparecen en pares conjugados, así que

P(z)

se factoriza en factores lineales distintos

(z - c)

con

c \in \mathbb{Z}

y cuadráticos

(z - (a+ib))(z - (a-ib))

= z^2 - 2az + (a^2 + b^2).

El término constante de cada factor divide a

50.

Para

d=1,2,5,10,25,50,

las cantidades de pares conjugados con

a^2+b^2=d

y

b\ne0

son

1,2,4,4,5,6,

respectivamente. Al añadir las dos opciones lineales

z-d,z+d

se obtiene

|B_1|=3,

|B_2|=4,

|B_5|=6,

|B_{10}|=6,

|B_{25}|=7,

y

|B_{50}|=8.

Las particiones de

50

en magnitudes de factores mayores que

1

son

50,25\cdot2,10\cdot5,

y

5\cdot5\cdot2.

Que las raíces sean distintas obliga, en el último caso, a elegir dos factores diferentes de

B_5

. Por último, al tener en cuenta la presencia libre de

z+1

y

z^2+1

(con

z-1

forzado por el signo del producto restante), se obtiene

\begin{aligned} &2^2\left(8 + 7\cdot 4 + 6\cdot 6 + 4\binom{6}{2}\right) \\ &\quad = 4(8 + 28 + 36 + 60) = 528. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since the coefficients are real, nonreal roots occur in conjugate pairs, so

P(z)

factors into distinct linear factors

(z - c)

with

c \in \mathbb{Z}

and quadratics

(z - (a+ib))(z - (a-ib))

= z^2 - 2az + (a^2 + b^2).

Each factor’s constant term divides

50.

For

d=1,2,5,10,25,50,

the numbers of conjugate pairs with

a^2+b^2=d

and

b\ne0

are

1,2,4,4,5,6,

respectively. Adding the two linear choices

z-d,z+d

gives

|B_1|=3,

|B_2|=4,

|B_5|=6,

|B_{10}|=6,

|B_{25}|=7,

and

|B_{50}|=8.

The factor-magnitude partitions of

50

using values greater than

1

are

50,25\cdot2,10\cdot5,

and

5\cdot5\cdot2.

Distinct roots require choosing two different

B_5

factors in the last case. Finally, account for the free presence of

z+1

and

z^2+1

(with

z-1

forced by the sign of the remaining product), gives

\begin{aligned} &2^2\left(8 + 7\cdot 4 + 6\cdot 6 + 4\binom{6}{2}\right) \\ &\quad = 4(8 + 28 + 36 + 60) = 528. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.