2013 AMC 12B Problema 18

Question

Barbara y Jenna juegan el siguiente juego, en el que se turnan. Sobre una mesa hay cierta cantidad de monedas. Cuando es el turno de Barbara, debe quitar

2

o

4

monedas, a menos que quede una sola moneda, en cuyo caso pierde su turno. Cuando es el turno de Jenna, debe quitar

1

o

3

monedas. Un lanzamiento de moneda determina quién empieza. Quien quite la última moneda gana el juego. Supón que ambas jugadoras usan su mejor estrategia. ¿Quién ganará cuando el juego empieza con

2013

monedas y cuando el juego empieza con

2014

monedas?

Barbara and Jenna play the following game, in which they take turns. A number of coins lie on a table. When it is Barbara’s turn, she must remove

2

or

4

coins, unless only one coin remains, in which case she loses her turn. When it is Jenna’s turn, she must remove

1

or

3

coins. A coin flip determines who goes first. Whoever removes the last coin wins the game. Assume both players use their best strategy. Who will win when the game starts with

2013

coins and when the game starts with

2014

coins?

Barbara ganará con

2013

monedas, y Jenna ganará con

2014

monedas.

Barbara will win with

2013

coins, and Jenna will win with

2014

coins.

Jenna ganará con

2013

monedas, y quien empiece ganará con

2014

monedas.

Jenna will win with

2013

coins, and whoever goes first will win with

2014

coins.

Barbara ganará con

2013

monedas, y quien vaya en segundo lugar ganará con

2014

monedas.

Barbara will win with

2013

coins, and whoever goes second will win with

2014

coins.

Jenna ganará con

2013

monedas, y Barbara ganará con

2014

monedas.

Jenna will win with

2013

coins, and Barbara will win with

2014

coins.

Quien empiece ganará con

2013

monedas, y quien vaya en segundo lugar ganará con

2014

monedas.

Whoever goes first will win with

2013

coins, and whoever goes second will win with

2014

coins.

Respuesta: B

Conceptos:juego combinatorio invariante aritmética modular

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Sigue el número de monedas módulo

5

.

Track the number of coins modulo

5

Pista grande:

Jenna siempre puede restaurar un múltiplo de

5

después de su jugada, respondiendo al

2

de Barbara con

3

y a su

4

con

1;

decide quién puede mantener el invariante para cada cantidad inicial.

Jenna can always restore a multiple of

5

after her move, answering Barbara’s

2

with

3

and her

4

with

1;

decide who can maintain the invariant for each starting count

Solución:

Trabaja módulo

5.

Con

2013 \equiv 3

monedas, Jenna gana de cualquier manera: si empieza, quita

3

para dejar un múltiplo de

5,

luego responde al

2

de Barbara con

3

y al

4

con

1

para conservar múltiplos de

5,

y finalmente toma la última moneda; si va en segundo lugar, mantiene la cantidad

\equiv 3 \pmod 5

hasta que Barbara queda atascada en

3

monedas, debe quitar

2,

y le deja a Jenna la última moneda. Con

2014 \equiv 4

monedas, gana quien empiece: Jenna, si empieza, reduce al caso de

2013

, mientras que Barbara, si empieza, quita

4

y luego conserva múltiplos de

5.

Esta es la opción B. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Work modulo

5.

With

2013 \equiv 3

coins, Jenna wins either way: going first she takes

3

to leave a multiple of

5,

then answers Barbara’s

2

with

3

and

4

with

1

to keep multiples of

5,

eventually taking the last coin; going second she keeps the count

\equiv 3 \pmod 5

until Barbara is stuck at

3

coins, must remove

2,

and leaves Jenna the last coin. With

2014 \equiv 4

coins, whoever goes first wins: Jenna first reduces to the

2013

case, while Barbara first takes

4

and then keeps multiples of

5.

This is choice B. Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12B Problema 18

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años