2011 AMC 12B Problema 18

Question

Una pirámide tiene una base cuadrada con lados de longitud

1

y sus caras laterales son triángulos equiláteros. Se coloca un cubo dentro de la pirámide de modo que una cara está sobre la base de la pirámide y su cara opuesta tiene todas sus aristas sobre las caras laterales de la pirámide. ¿Cuál es el volumen de este cubo?

A pyramid has a square base with sides of length

1

and has lateral faces that are equilateral triangles. A cube is placed within the pyramid so that one face is on the base of the pyramid and its opposite face has all its edges on the lateral faces of the pyramid. What is the volume of this cube?

5\sqrt{2}-7

7-4\sqrt{3}

\dfrac{2\sqrt{2}}{27}

\dfrac{\sqrt{2}}{9}

\dfrac{\sqrt{3}}{9}

Respuesta: A

Conceptos:pirámide geometría del cubo Geometría 3D

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Corta la pirámide con el plano que contiene una diagonal de la base y el ápice.

Slice the pyramid through the plane containing a diagonal of the base and the apex

Pista grande:

Esa sección transversal es un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa

\sqrt2;

el cubo la interseca en un rectángulo de altura

x

y ancho

\sqrt2\,x

.

That cross-section is an isosceles right triangle with hypotenuse

\sqrt2;

the cube meets it in a rectangle of height

x

and width

\sqrt2\,x

Solución:

Sea

A

el ápice y sea el cuadrado

BCDE

la base. Entonces

AB=AD=1

y

BD=\sqrt2,

así que

\triangle BAD

es un triángulo rectángulo isósceles.

Sea

x

la longitud de arista del cubo. Su intersección con el plano de

\triangle BAD

es un rectángulo de altura

x

y ancho

\sqrt2\,x,

cuyas esquinas superiores están sobre

AB

y

AD.

Como los catetos

AB

y

AD

se encuentran con la base a

45^\circ,

cada porción de

BD

fuera del rectángulo tiene longitud

x,

así que

\sqrt2=BD=\sqrt2\,x+2x,

lo que se reduce a

x=\dfrac{\sqrt2}{2+\sqrt2}=\sqrt2-1.

El volumen es

(\sqrt2-1)^3=5\sqrt2-7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the apex be

A

and the base be square

BCDE.

Then

AB=AD=1

and

BD=\sqrt2,

so

\triangle BAD

is an isosceles right triangle.

Let the cube have edge length

x.

Its intersection with the plane of

\triangle BAD

is a rectangle of height

x

and width

\sqrt2\,x,

whose top corners lie on

AB

and

AD.

Because the legs

AB

and

AD

meet the base at

45^\circ,

each portion of

BD

outside the rectangle has length

x,

so

\sqrt2=BD=\sqrt2\,x+2x,

which reduces to

x=\dfrac{\sqrt2}{2+\sqrt2}=\sqrt2-1.

The volume is

(\sqrt2-1)^3=5\sqrt2-7.

Thus, the correct answer is A.