Question

Brian escribe cuatro enteros $w \gt x \gt y \gt z$ cuya suma es $44.$ Las diferencias positivas por pares de estos números son $1, 3, 4, 5, 6,$ y $9.$ ¿Cuál es la suma de los posibles valores de $w$ ?

Brian writes down four integers $w \gt x \gt y \gt z$ whose sum is $44.$ The pairwise positive differences of these numbers are $1, 3, 4, 5, 6,$ and $9.$ What is the sum of the possible values for $w?$

$16$

$31$

$48$

$62$

$93$

Respuesta: B

Conceptos:sistema de ecuaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1610

Solución:

La diferencia mayor es $w-z=9.$ Para cualquiera de los números interiores $n,$ tenemos $9=(w-n)+(n-z).$ Los únicos pares entre las diferencias dadas que suman $9$ son $3+6$ y $4+5,$ así que la diferencia restante debe ser $x-y=1.$

La segunda diferencia mayor, $6$ , es $w-y$ o $x-z.$ Si $w-y=6,$ los números son $\{w,w-5,w-6,w-9\},$ así que $4w-20=44$ y $w=16.$ Si $x-z=6,$ los números son $\{w,w-3,w-4,w-9\},$ así que $4w-16=44$ y $w=15.$

Los valores posibles son $16$ y $15,$ cuya suma es $31.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The largest difference is $w-z=9.$ For either interior number $n,$ we have $9=(w-n)+(n-z).$ The only pairs among the listed differences that sum to $9$ are $3+6$ and $4+5,$ so the remaining difference must be $x-y=1.$

The second largest difference $6$ is either $w-y$ or $x-z.$ If $w-y=6,$ the numbers are $\{w,w-5,w-6,w-9\},$ so $4w-20=44$ and $w=16.$ If $x-z=6,$ the numbers are $\{w,w-3,w-4,w-9\},$ so $4w-16=44$ and $w=15.$

The possible values are $16$ and $15,$ which sum to $31.$

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12B Problema 13

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1610

Solución:

El Problema 13 en otros años