2011 AMC 12B Problema 13

Question

Brian escribe cuatro enteros

w \gt x \gt y \gt z

cuya suma es

44.

Las diferencias positivas por pares de estos números son

1,

3,

4,

5,

6,

y

9.

¿Cuál es la suma de los posibles valores de

w

?

Brian writes down four integers

w \gt x \gt y \gt z

whose sum is

44.

The pairwise positive differences of these numbers are

1,

3,

4,

5,

6,

and

9.

What is the sum of the possible values for

w?

16

31

48

62

93

Respuesta: B

Conceptos:sistema de ecuaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

La diferencia mayor es

w-z=9,

y la menor diferencia positiva debe ser

x-y=1

.

The largest difference is

w-z=9,

and the smallest positive difference must be

x-y=1

Pista grande:

La segunda mayor diferencia

6

es

w-y

o

x-z

; analiza cada caso.

The second largest difference

6

is either

w-y

or

x-z

; handle each case

Solución:

La diferencia mayor es

w-z=9.

Para cualquiera de los números interiores

n,

tenemos

9=(w-n)+(n-z).

Los únicos pares entre las diferencias dadas que suman

9

son

3+6

y

4+5,

así que la diferencia restante debe ser

x-y=1.

La segunda diferencia mayor,

6

, es

w-y

o

x-z.

Si

w-y=6,

los números son

\{w,w-5,w-6,w-9\},

así que

4w-20=44

y

w=16.

Si

x-z=6,

los números son

\{w,w-3,w-4,w-9\},

así que

4w-16=44

y

w=15.

Los valores posibles son

16

y

15,

cuya suma es

31.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The largest difference is

w-z=9.

For either interior number

n,

we have

9=(w-n)+(n-z).

The only pairs among the listed differences that sum to

9

are

3+6

and

4+5,

so the remaining difference must be

x-y=1.

The second largest difference

6

is either

w-y

or

x-z.

If

w-y=6,

the numbers are

\{w,w-5,w-6,w-9\},

so

4w-20=44

and

w=16.

If

x-z=6,

the numbers are

\{w,w-3,w-4,w-9\},

so

4w-16=44

and

w=15.

The possible values are

16

and

15,

which sum to

31.

Thus, the correct answer is B.