2011 AMC 12A Problema 18

Question

Supongamos que

|x + y| + |x - y| = 2.

¿Cuál es el máximo valor posible de

x^2 - 6x + y^2

?

Suppose that

|x + y| + |x - y| = 2.

What is the maximum possible value of

x^2 - 6x + y^2?

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La ecuación

|x+y| + |x-y| = 2

significa

\max(|x|, |y|) = 1,

la frontera del cuadrado

[-1,1]^2

The equation

|x+y| + |x-y| = 2

means

\max(|x|, |y|) = 1,

the boundary of the square

[-1,1]^2

En ese cuadrado,

x^2 - 6x + y^2

es mayor cuando

x = -1

y

y = \pm 1

On that square,

x^2 - 6x + y^2

is largest when

x = -1

and

y = \pm 1

La identidad

|x+y| + |x-y|

= 2\max(|x|, |y|)

convierte la condición en

\max(|x|, |y|) = 1,

la frontera del cuadrado con

|x| \le 1

y

|y| \le 1.

En esta región

x^2 - 6x + y^2

aumenta a medida que

x

disminuye y a medida que

y^2

aumenta, así que el máximo está en

x = -1,

y = \pm 1:

1 + 6 + 1 = 8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The identity

|x+y| + |x-y|

= 2\max(|x|, |y|)

turns the condition into

\max(|x|, |y|) = 1,

the boundary of the square with

|x| \le 1

and

|y| \le 1.

On this region

x^2 - 6x + y^2

increases as

x

decreases and as

y^2

increases, so the maximum is at

x = -1,

y = \pm 1:

1 + 6 + 1 = 8.

Thus, the correct answer is D.

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