2010 AMC 12A Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2010 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Las sucesiones aritméticas

(a_n)

y

(b_n)

tienen términos enteros con

a_1=b_1=1\lt a_2\le b_2

y

a_nb_n=2010

para algún

n.

¿Cuál es el mayor valor posible de

n

?

Arithmetic sequences

(a_n)

and

(b_n)

have integer terms with

a_1=b_1=1\lt a_2\le b_2

and

a_nb_n=2010

for some

n.

What is the largest possible value of

n?

2

3

8

288

2009

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética divisibilidad máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Escribe

a_n=1+(n-1)d_1

y

b_n=1+(n-1)d_2,

así que

n-1

divide tanto a

a_n-1

como a

b_n-1

.

Write

a_n=1+(n-1)d_1

and

b_n=1+(n-1)d_2,

so

n-1

divides both

a_n-1

and

b_n-1

Pista grande:

Revisa cada par de factores de

2010

con

a_n\le b_n;

entonces

n-1

debe dividir a

\gcd(a_n-1,b_n-1)

.

Check each factor pair of

2010

with

a_n\le b_n;

then

n-1

must divide

\gcd(a_n-1,b_n-1)

Solución:

Como

a_n=1+(n-1)d_1

y

b_n=1+(n-1)d_2

para enteros

d_1,d_2,

el valor

n-1

divide tanto a

a_n-1

como a

b_n-1,

y por lo tanto divide a

\gcd(a_n-1,b_n-1).

Los pares de factores de

2010

con

2\le a_n\le b_n

son

(2,1005),

(3,670),

(5,402),

(6,335),

(10,201),

(15,134),

y

(30,67).

Para cada par excepto

(15,134),

los números

a_n-1

y

b_n-1

son primos entre sí, lo que fuerza

n=2.

Para

(15,134),

\gcd(14,133)=7,

así que

n-1

puede ser igual a

7,

dando

n=8.

Las sucesiones

a_n=2n-1

y

b_n=19n-18

logran esto, así que el mayor valor es

8.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since

a_n=1+(n-1)d_1

and

b_n=1+(n-1)d_2

for integers

d_1,d_2,

the value

n-1

divides both

a_n-1

and

b_n-1,

hence divides

\gcd(a_n-1,b_n-1).

The factor pairs of

2010

with

2\le a_n\le b_n

are

(2,1005),

(3,670),

(5,402),

(6,335),

(10,201),

(15,134),

and

(30,67).

For every pair except

(15,134),

the numbers

a_n-1

and

b_n-1

are relatively prime, forcing

n=2.

For

(15,134),

\gcd(14,133)=7,

so

n-1

can equal

7,

giving

n=8.

The sequences

a_n=2n-1

and

b_n=19n-18

realize this, so the largest value is

8.

Thus, C is the correct answer.

El Problema 20 en otros años