2010 AMC 12A Problema 18

Question

Un camino de

16

pasos debe ir de

(-4,-4)

a

(4,4)

, donde cada paso aumenta la coordenada

x

o la coordenada

y

en

1.

¿Cuántos de esos caminos permanecen fuera o sobre la frontera del cuadrado

-2\le x\le2,

-2\le y\le2

en cada paso?

A

16

-step path is to go from

(-4,-4)

to

(4,4)

with each step increasing either the

x

-coordinate or the

y

-coordinate by

1.

How many such paths stay outside or on the boundary of the square

-2\le x\le2,

-2\le y\le2

at each step?

92

144

1568

1698

12{,}800

Respuesta: D

Conceptos:caminos reticulares combinaciones simetría

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Cada paso aumenta

x+y

en

1,

así que el camino toca la recta

x+y=0

en exactamente un punto reticular.

Each step increases

x+y

by

1,

so the path meets the line

x+y=0

at exactly one lattice point

Pista grande:

Para evitar el interior del cuadrado, ese punto es

(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3),

o

(\pm4,\mp4);

cuenta los caminos que pasan por cada uno.

To avoid the square’s interior, that point is

(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3),

or

(\pm4,\mp4);

count paths through each

Solución:

Cada paso aumenta

x+y

en

1,

que va de

-8

a

8,

así que cada camino pasa por exactamente un punto reticular con

x+y=0.

Para permanecer fuera del cuadrado abierto, ese punto

(t,-t)

debe cumplir

|t|\ge2,

así que es uno de

(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3),(\pm4,\mp4).

Por simetría, considera los tres puntos

(-4,4),(-3,3),(-2,2)

y duplica. El número de caminos de

(-4,-4)

a

(-(4-j),4-j)

es

\binom{8}{j},

y el número que continúa hasta

(4,4)

es también

\binom{8}{j}.

Por lo tanto, el total es

\begin{gathered} 2\left(\binom80^2+\binom81^2+\binom82^2\right) \\ =2(1+64+784) \\ =1698. \end{gathered}

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Every step increases

x+y

by

1,

which runs from

-8

to

8,

so each path passes through exactly one lattice point with

x+y=0.

To stay out of the open square, that point

(t,-t)

must have

|t|\ge2,

so it is one of

(\pm2,\mp2),(\pm3,\mp3),(\pm4,\mp4).

By symmetry consider the three points

(-4,4),(-3,3),(-2,2)

and double. The number of paths from

(-4,-4)

to

(-(4-j),4-j)

is

\binom{8}{j},

and the number continuing on to

(4,4)

is also

\binom{8}{j}.

Therefore the total is

\begin{gathered} 2\left(\binom80^2+\binom81^2+\binom82^2\right) \\ =2(1+64+784) \\ =1698. \end{gathered}

Thus, D is the correct answer.