2009 AMC 12B Problema 18

Question

Rachel y Robert corren en una pista circular. Rachel corre en sentido antihorario y completa una vuelta cada

90

segundos, y Robert corre en sentido horario y completa una vuelta cada

80

segundos. Ambos parten de la línea de salida al mismo tiempo. En algún instante aleatorio entre los

10

minutos y los

11

minutos después de comenzar a correr, un fotógrafo que está dentro de la pista toma una foto que muestra un cuarto de la pista, centrada en la línea de salida. ¿Cuál es la probabilidad de que Rachel y Robert estén ambos en la foto?

Rachel and Robert run on a circular track. Rachel runs counterclockwise and completes a lap every

90

seconds, and Robert runs clockwise and completes a lap every

80

seconds. Both start from the start line at the same time. At some random time between

10

minutes and

11

minutes after they begin to run, a photographer standing inside the track takes a picture that shows one-fourth of the track, centered on the starting line. What is the probability that both Rachel and Robert are in the picture?

\dfrac{1}{16}

\dfrac{1}{8}

\dfrac{3}{16}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{5}{16}

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad geométrica distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

La foto abarca

\tfrac{1}{8}

de vuelta a cada lado de la salida; halla cuándo cada corredor está dentro de ese arco durante el minuto

10

.

The picture spans

\tfrac{1}{8}

lap on each side of the start; find when each runner is within that arc during the

10

th minute

Pista grande:

Rachel está a la vista durante

18.75\text{-}41.25

s y Robert durante

30\text{-}50

s; toma el solapamiento sobre

60

s.

Rachel is in view for

18.75\text{-}41.25

s and Robert for

30\text{-}50

s; take the overlap over

60

s

Solución:

La foto cubre el arco que dista a lo sumo

\dfrac{1}{8}

de vuelta de la salida a cada lado. En

600

s Rachel ha corrido

6\tfrac{2}{3}

vueltas, a

30

s de la línea; un cuarto de vuelta le toma

22.5

s, así que está a la vista entre

30 - 11.25 = 18.75

s y

30 + 11.25 = 41.25

s del minuto

10

.

En

600

s Robert está a

40

s de la línea; un cuarto de vuelta toma

20

s, así que está a la vista entre

30

y

50

s. Ambos aparecen entre

30

y

41.25

s, una ventana de

11.25

s de entre

60,

lo que da una probabilidad de

\dfrac{11.25}{60} = \dfrac{3}{16}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The picture covers the arc within

\dfrac{1}{8}

lap of the start on each side. At

600

s Rachel has run

6\tfrac{2}{3}

laps,

30

s short of the line; a quarter lap takes her

22.5

s, so she is in view between

30 - 11.25 = 18.75

s and

30 + 11.25 = 41.25

s of the

10

th minute.

At

600

s Robert is

40

s from the line; a quarter lap takes

20

s, so he is in view between

30

and

50

s. Both appear between

30

and

41.25

s, a window of

11.25

s out of

60,

giving probability

\dfrac{11.25}{60} = \dfrac{3}{16}.

Thus, the correct answer is C.