2009 AMC 12A Problema 21

Question

Sea

p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,

donde

a,

b,

y

c

son números complejos. Supón que

\begin{gathered} p(2009 + 9002\pi i) \\ = p(2009) \\ = p(9002) = 0. \end{gathered}

¿Cuál es el número de ceros no reales de

x^{12} + ax^8 + bx^4 + c

?

Let

p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,

where

a,

b,

and

c

are complex numbers. Suppose that

\begin{gathered} p(2009 + 9002\pi i) \\ = p(2009) \\ = p(9002) = 0. \end{gathered}

What is the number of nonreal zeros of

x^{12} + ax^8 + bx^4 + c?

4

6

8

10

12

Respuesta: C

Conceptos:polinomio número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Nota que

x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)

.

Notice that

x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)

Pista grande:

Así que los ceros satisfacen

x^4 = 2009 + 9002\pi i,

x^4 = 2009,

o

x^4 = 9002;

cuenta las raíces cuartas no reales.

So the zeros satisfy

x^4 = 2009 + 9002\pi i,

x^4 = 2009,

or

x^4 = 9002;

count the nonreal fourth roots

Solución:

Como

x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4),

un valor es un cero exactamente cuando

x^4

es igual a una de las raíces de

p,

a saber

2009 + 9002\pi i,

2009,

o

9002.

La ecuación

x^4 = 2009 + 9002\pi i

tiene cuatro raíces no reales distintas. Cada una de

x^4 = 2009

y

x^4 = 9002

tiene dos raíces reales y dos raíces no reales.

Así que los ceros no reales suman

4 + 2 + 2 = 8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4),

a value is a zero exactly when

x^4

equals one of the roots of

p,

namely

2009 + 9002\pi i,

2009,

or

9002.

The equation

x^4 = 2009 + 9002\pi i

has four distinct nonreal roots. Each of

x^4 = 2009

and

x^4 = 9002

has two real roots and two nonreal roots.

So the nonreal zeros number

4 + 2 + 2 = 8.

Thus, the correct answer is C.