2009 AMC 12A Problema 20

Question

El cuadrilátero convexo

ABCD

tiene

AB = 9

y

CD = 12.

Las diagonales

AC

y

BD

se cortan en

E,

AC = 14,

y

\triangle AED

y

\triangle BEC

tienen áreas iguales. ¿Cuánto vale

AE

?

Convex quadrilateral

ABCD

has

AB = 9

and

CD = 12.

Diagonals

AC

and

BD

intersect at

E,

AC = 14,

and

\triangle AED

and

\triangle BEC

have equal areas. What is

AE?

\dfrac{9}{2}

\dfrac{50}{11}

\dfrac{21}{4}

\dfrac{17}{3}

6

Respuesta: E

Conceptos:rectas paralelas semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Las áreas iguales de

\triangle AED

y

\triangle BEC

implican que

\triangle ACD

y

\triangle BCD

tienen áreas iguales.

Equal areas of

\triangle AED

and

\triangle BEC

imply

\triangle ACD

and

\triangle BCD

have equal areas

Pista grande:

Esto obliga a

AB \parallel CD,

haciendo que

\triangle ABE \sim \triangle CDE

con razón

\dfrac{9}{12}

.

That forces

AB \parallel CD,

making

\triangle ABE \sim \triangle CDE

with ratio

\dfrac{9}{12}

Solución:

Sumar

\triangle CED

a cada uno de

\triangle AED

y

\triangle BEC

muestra que

\triangle ACD

y

\triangle BCD

tienen áreas iguales. Comparten la base

CD,

así que

A

y

B

equidistan de la recta

CD,

lo que significa

AB \parallel CD.

Entonces

\triangle ABE \sim \triangle CDE

con razón

\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4},

así que

\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{4}.

Escribiendo

AE = 3x

y

EC = 4x,

obtenemos

7x = AC = 14,

así que

x = 2

y

AE = 6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Adding

\triangle CED

to each of

\triangle AED

and

\triangle BEC

shows

\triangle ACD

and

\triangle BCD

have equal areas. They share base

CD,

so

A

and

B

are equidistant from line

CD,

meaning

AB \parallel CD.

Then

\triangle ABE \sim \triangle CDE

with ratio

\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4},

so

\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{4}.

Writing

AE = 3x

and

EC = 4x,

we get

7x = AC = 14,

so

x = 2

and

AE = 6.

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12A Problema 20

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años