2008 AMC 12B Problema 12

Question

Para cada entero positivo

n,

la media de los primeros

n

términos de una sucesión es

n.

¿Cuál es el término

2008

de la sucesión?

For each positive integer

n,

the mean of the first

n

terms of a sequence is

n.

What is the

2008

th term of the sequence?

2008

4015

4016

4{,}030{,}056

4{,}032{,}064

Respuesta: B

Conceptos:media sumatoria

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Si la media de los primeros

n

términos es

n,

entonces su suma es

n^2

.

If the mean of the first

n

terms is

n,

then their sum is

n^2

Pista grande:

El término

n

es igual a la suma de los primeros

n

menos la suma de los primeros

n - 1

.

The

n

th term equals the sum of the first

n

minus the sum of the first

n - 1

Solución:

Como la media de los primeros

n

términos es

n,

su suma es

n \cdot n = n^2.

El término

n

es la diferencia de sumas consecutivas,

n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1.

Para

n = 2008,

el término es

2 \cdot 2008 - 1 = 4015.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since the mean of the first

n

terms is

n,

their sum is

n \cdot n = n^2.

The

n

th term is the difference of consecutive sums,

n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1.

For

n = 2008,

the term is

2 \cdot 2008 - 1 = 4015.

Thus, the correct answer is B.