2006 AMC 12B Problema 20

Question

Se elige

x

al azar en el intervalo

(0, 1)

. ¿Cuál es la probabilidad de que

\lfloor \log_{10} 4x \rfloor - \lfloor \log_{10} x \rfloor = 0?

Aquí

\lfloor x \rfloor

denota el mayor entero que es menor o igual que

x

.

Let

x

be chosen at random from the interval

(0, 1).

What is the probability that

\lfloor \log_{10} 4x \rfloor - \lfloor \log_{10} x \rfloor = 0?

Here

\lfloor x \rfloor

denotes the greatest integer that is less than or equal to

x.

\dfrac{1}{8}

\dfrac{3}{20}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{4}

Respuesta: C

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo probabilidad geométrica

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

La condición dice que

x

y

4x

tienen la misma magnitud en potencias de diez.

The condition says

x

and

4x

have the same power-of-ten magnitude

Pista grande:

En cada intervalo

[10^n, 10^{n+1}),

la condición se cumple para

x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}

.

On each interval

[10^n, 10^{n+1}),

the condition holds for

x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}

Solución:

La ecuación dice que

\lfloor \log_{10} x \rfloor = \lfloor \log_{10} 4x \rfloor,

es decir,

x

y

4x

están en el mismo intervalo

[10^n, 10^{n+1}).

Esto se cumple exactamente cuando

10^n \le x

y

4x \lt 10^{n+1},

es decir,

10^n \le x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}.

Dentro de

[10^n, 10^{n+1}),

la fracción favorable es

\begin{aligned} &\frac{\frac{10^{n+1}}{4} - 10^n}{10^{n+1} - 10^n} \\ &= \frac{\frac{10}{4} - 1}{10 - 1} = \frac{1}{6}. \end{aligned}

Como esta fracción es la misma en cada uno de estos intervalos, la probabilidad total es

\dfrac{1}{6}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The equation says

\lfloor \log_{10} x \rfloor = \lfloor \log_{10} 4x \rfloor,

i.e.

x

and

4x

lie in the same interval

[10^n, 10^{n+1}).

This holds exactly when

10^n \le x

and

4x \lt 10^{n+1},

that is

10^n \le x \lt \dfrac{10^{n+1}}{4}.

Within

[10^n, 10^{n+1}),

the favorable fraction is

\begin{aligned} &\frac{\frac{10^{n+1}}{4} - 10^n}{10^{n+1} - 10^n} \\ &= \frac{\frac{10}{4} - 1}{10 - 1} = \frac{1}{6}. \end{aligned}

Since this fraction is the same on every such interval, the overall probability is

\dfrac{1}{6}.

Thus, the correct answer is C.