2006 AMC 12A Problema 18

Question

La función

f

tiene la propiedad de que para cada número real

x

en su dominio,

\frac{1}{x}

también está en su dominio y

f(x) + f\!\left(\frac{1}{x}\right) = x.

¿Cuál es el mayor conjunto de números reales que puede estar en el dominio de

f

?

The function

f

has the property that for each real number

x

in its domain,

\frac{1}{x}

is also in its domain and

f(x) + f\!\left(\frac{1}{x}\right) = x.

What is the largest set of real numbers that can be in the domain of

f?

\{x \mid x \neq 0\}

\{x \mid x \lt 0\}

\{x \mid x \gt 0\}

\{x \mid x \neq -1,\ x \neq 0,\ x \neq 1\}

\{-1, 1\}

Respuesta: E

Conceptos:ecuación funcional sustitución

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Sustituye

\frac{1}{x}

en lugar de

x

para obtener una segunda ecuación.

Substitute

\frac{1}{x}

in place of

x

to get a second equation

Pista grande:

Comparar las dos ecuaciones obliga a que

x = \frac{1}{x}

.

Comparing the two equations forces

x = \frac{1}{x}

Solución:

Al reemplazar

x

por

\frac{1}{x}

se obtiene

f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) + f(x) = \tfrac{1}{x}.

Junto con

f(x) + f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) = x,

esto exige

x = \tfrac{1}{x},

así que

x = \pm 1.

Ambos valores son consistentes, con

f(1) = \tfrac{1}{2}

y

f(-1) = -\tfrac{1}{2}.

Así que el mayor dominio posible es

\{-1, 1\}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Replacing

x

by

\frac{1}{x}

gives

f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) + f(x) = \tfrac{1}{x}.

Together with

f(x) + f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) = x,

this requires

x = \tfrac{1}{x},

so

x = \pm 1.

Both values are consistent, with

f(1) = \tfrac{1}{2}

and

f(-1) = -\tfrac{1}{2}.

So the largest possible domain is

\{-1, 1\}.

Thus, the correct answer is E.