2005 AMC 12B Problema 12

Question

La ecuación cuadrática

x^2 + mx + n = 0

tiene raíces que son el doble de las de

x^2 + px + m = 0,

y ninguno de

m,

n,

y

p

es cero. ¿Cuál es el valor de

\dfrac{n}{p}

?

The quadratic equation

x^2 + mx + n = 0

has roots that are twice those of

x^2 + px + m = 0,

and none of

m,

n,

and

p

is zero. What is the value of

\dfrac{n}{p}?

1

2

4

8

16

Respuesta: D

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Sea

r_1, r_2

las raíces de

x^2 + px + m = 0

; la otra ecuación tiene raíces

2r_1, 2r_2

.

Let

r_1, r_2

be the roots of

x^2 + px + m = 0

; the other equation has roots

2r_1, 2r_2

Pista grande:

Escribe

m, n, p

en términos de

r_1 r_2

y

r_1 + r_2

usando las fórmulas de Vieta.

Write

m, n, p

in terms of

r_1 r_2

and

r_1 + r_2

using Vieta’s formulas

Solución:

Sean

r_1

y

r_2

las raíces de

x^2 + px + m = 0,

así que

m = r_1 r_2

y

p = -(r_1 + r_2).

Las raíces de

x^2 + mx + n = 0

son

2r_1

y

2r_2,

así que

n = 4r_1 r_2

y

m = -2(r_1 + r_2).

Entonces

n = 4m

y

m = 2p,

lo que da

p = \dfrac{m}{2},

así que

\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{\tfrac{m}{2}} = 8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

r_1

and

r_2

be the roots of

x^2 + px + m = 0,

so

m = r_1 r_2

and

p = -(r_1 + r_2).

The roots of

x^2 + mx + n = 0

are

2r_1

and

2r_2,

so

n = 4r_1 r_2

and

m = -2(r_1 + r_2).

Then

n = 4m

and

m = 2p,

which gives

p = \dfrac{m}{2},

so

\dfrac{n}{p} = \dfrac{4m}{\tfrac{m}{2}} = 8.

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12B Problema 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años