2004 AMC 12B Problema 25

Question

Dado que

2^{2004}

es un número de

604

dígitos cuyo primer dígito es

1,

¿cuántos elementos del conjunto

S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{2003}\}

tienen primer dígito

4

?

Given that

2^{2004}

is a

604

-digit number whose first digit is

1,

how many elements of the set

S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{2003}\}

have a first digit of

4?

194

195

196

197

198

Respuesta: B

Conceptos:dígitos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

El número de dígitos de

2^k

aumenta en

1

exactamente cuando su dígito principal fuerza un acarreo.

The number of digits of

2^k

increases by

1

exactly when its leading digit forces a carry

Pista grande:

Una potencia de

2

tiene dígito principal

8

o

9

precisamente cuando la potencia anterior tiene dígito principal

4

.

A power of

2

has leading digit

8

or

9

precisely when the previous power has leading digit

4

Solución:

La menor potencia de

2

con una cantidad fija de dígitos está entre

10^k

y

2\cdot10^k,

así que su primer dígito es

1.

Como

2^{2004}

es un número de

604

dígitos que empieza por

1

, es la primera potencia de

604

dígitos. Por tanto, las potencias de

S

contienen exactamente un número que empieza por

1

para cada cantidad de dígitos entre

1

y

603,

es decir,

603

en total.

Después de cada potencia que empieza por

1

, la siguiente empieza por

2

o

3,

y la siguiente por

4, 5, 6,

o

7.

Así,

603

elementos empiezan por

2

o

3,

otros

603

empiezan por

4

a

7,

y los

2004 - 3(603) = 195

restantes empiezan por

8

o

9.

Finalmente, dividir por dos una potencia que empieza por

8

o

9

produce la potencia anterior, que empieza por

4,

y duplicar una potencia que empieza por

4

invierte esta operación. Es una biyección, así que hay

195

elementos cuyo primer dígito es

4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The smallest power of

2

with any given digit-count lies between

10^k

and

2\cdot10^k,

so it has leading digit

1.

Because

2^{2004}

is a

604

-digit number beginning with

1,

it is the first

604

-digit power. Thus the powers in

S

contain exactly one leading-

1

number for each digit-count from

1

through

603,

or

603

in all.

After each leading-

1

power, the next power leads with

2

or

3,

and the following power leads with

4, 5, 6,

or

7.

Hence

603

elements lead with

2

or

3,

another

603

lead with

4

through

7,

and the remaining

2004 - 3(603) = 195

lead with

8

or

9.

Finally, halving a power that leads with

8

or

9

produces the preceding power with leading digit

4,

and doubling any leading-

4

power reverses this. This is a bijection, so there are

195

elements with first digit

4.

Thus, the correct answer is B.