Si f(x) = ax + b y f^-1(x) = bx + a con a y b reales, ¿cuál es el valor de a + b ?

2004 AMC 12B Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2004 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2004 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

f(x) = ax + b

f^{-1}(x) = bx + a

con

a

b

reales, ¿cuál es el valor de

a + b

f(x) = ax + b

and

f^{-1}(x) = bx + a

with

a

and

b

real, what is the value of

a + b?

-2

-1

0

1

2

Usa

f(f^{-1}(x)) = x

Use

f(f^{-1}(x)) = x

Al desarrollar

a(bx + a) + b = x

se obtiene

ab = 1

a^2 + b = 0

Expanding

a(bx + a) + b = x

gives

ab = 1

and

a^2 + b = 0

Como

f(f^{-1}(x)) = x,

tenemos

a(bx + a) + b = x.

Igualar términos da

ab = 1

a^2 + b = 0.

Entonces

b = \frac{1}{a}

a^2 + \frac{1}{a} = 0,

así que

a^3 = -1,

lo que da

a = -1

b = -1.

Por lo tanto

a + b = -2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since

f(f^{-1}(x)) = x,

we have

a(bx + a) + b = x.

Matching terms gives

ab = 1

and

a^2 + b = 0.

Then

b = \frac{1}{a}

and

a^2 + \frac{1}{a} = 0,

a^3 = -1,

giving

a = -1

and

b = -1.

Thus

a + b = -2.

Thus, the correct answer is A.