2003 AMC 12A Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2003 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2003 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Sea

f(x) = \sqrt{ax^2 + bx}.

¿Para cuántos valores reales de

a

existe al menos un valor positivo de

b

para el cual el dominio de

f

y el rango de

f

son el mismo conjunto?

Let

f(x) = \sqrt{ax^2 + bx}.

For how many real values of

a

is there at least one positive value of

b

for which the domain of

f

and the range of

f

are the same set?

0

1

2

3

infinitos

infinitely many

Respuesta: C

Conceptos:función radical análisis por casos

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Si

a=0,

para todo

b\gt0

, el dominio y el rango son ambos

[0,\infty)

.

If

a=0,

both the domain and range equal

[0,\infty)

for every

b\gt0

Pista grande:

Si

a\lt0

, el dominio es

[0,-\frac{b}{a}]

y el máximo de

f

es

\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}

.

For

a\lt0

the domain is

[0,-\frac{b}{a}]

and the maximum of

f

is

\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}

Solución:

Si

a=0,

entonces

f(x)=\sqrt{bx}

tiene dominio y rango ambos iguales a

[0,\infty),

así que

a=0

funciona.

Si

a\gt0,

el dominio es

({-}\infty,-b/a]\cup[0,\infty),

mientras que el rango es

[0,\infty),

así que no existe tal

b

.

Si

a\lt0,

el dominio es

[0,-\frac{b}{a}]

y el rango es

\left[0,\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}\right].

Igualando los extremos derechos se obtiene

-\dfrac ba=\dfrac{b}{2\sqrt{-a}},

así que

2\sqrt{-a}=-a,

lo que da

a=-4.

Por lo tanto, hay

2

valores de

a,

y la respuesta correcta es C.

If

a=0,

then

f(x)=\sqrt{bx}

has domain and range both

[0,\infty),

so

a=0

works.

If

a\gt0,

the domain is

({-}\infty,-b/a]\cup[0,\infty),

while the range is

[0,\infty),

so no such

b

exists.

If

a\lt0,

the domain is

[0,-\frac{b}{a}]

and the range is

\left[0,\dfrac{b}{2\sqrt{-a}}\right].

Equating the right endpoints gives

-\dfrac ba=\dfrac{b}{2\sqrt{-a}},

so

2\sqrt{-a}=-a,

giving

a=-4.

Thus there are

2

values of

a,

and the correct answer is C.

El Problema 25 en otros años