2002 AMC 12B Problema 25

Question

Sea

f(x)=x^2+6x+1,

y sea

R

el conjunto de puntos

(x,y)

en el plano coordenado tales que

f(x)+f(y)\le0

y

f(x)-f(y)\le0.

El área de

R

es la más cercana a

Let

f(x)=x^2+6x+1,

and let

R

denote the set of points

(x,y)

in the coordinate plane such that

f(x)+f(y)\le0

and

f(x)-f(y)\le0.

The area of

R

is closest to

21

22

23

24

25

Respuesta: E

Conceptos:completar el cuadrado círculo área

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Completa el cuadrado:

f(x)+f(y)

=(x+3)^2+(y+3)^2-16

.

Complete the square:

f(x)+f(y)

=(x+3)^2+(y+3)^2-16

Pista grande:

La primera condición es un disco de radio

4

; la segunda,

(x-y)(x+y+6)\le0,

conserva la mitad de él.

The first condition is a disk of radius

4

; the second,

(x-y)(x+y+6)\le0,

keeps half of it

Solución:

Al completar el cuadrado,

\begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16, \end{gathered}

así que la primera condición es el disco de radio

4

centrado en

(-3,-3).

Además

\begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6), \end{gathered}

así que la segunda condición

(x-y)(x+y+6)\le0

describe dos semiplanos limitados por las rectas perpendiculares que pasan por

(-3,-3)

de pendientes

1

y

-1.

Estas cortan el disco en dos mitades iguales.

Así,

R

tiene área

\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13,

que es la más cercana a

25.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Completing the square,

\begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16, \end{gathered}

so the first condition is the disk of radius

4

centered at

(-3,-3).

Also

\begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6), \end{gathered}

so the second condition

(x-y)(x+y+6)\le0

describes two half-planes bounded by the perpendicular lines through

(-3,-3)

of slopes

1

and

-1.

These cut the disk into two equal halves.

Thus

R

has area

\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13,

which is closest to

25.

Thus, the correct answer is E.