2002 AMC 12A Problema 25

Question

Todos los coeficientes no nulos de un polinomio

P

con coeficientes reales se reemplazan por su media para formar un polinomio

Q.

¿Cuál de las siguientes podría ser una gráfica de

y = P(x)

y

y = Q(x)

en el intervalo

-4 \le x \le 4

?

The nonzero coefficients of a polynomial

P

with real coefficients are all replaced by their mean to form a polynomial

Q.

Which of the following could be a graph of

y = P(x)

and

y = Q(x)

over the interval

-4 \le x \le 4?

Respuesta: B

Conceptos:polinomio interpretación de datos y gráficas

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

La suma de los coeficientes de

P

es igual a la suma de los coeficientes de

Q

.

The sum of the coefficients of

P

equals the sum of the coefficients of

Q

Pista grande:

Evaluar en

x = 1

da

P(1) = Q(1),

así que las dos gráficas deben cortarse en

x = 1

.

Evaluating at

x = 1

gives

P(1) = Q(1),

so the two graphs must intersect at

x = 1

Solución:

Reemplazar los coeficientes no nulos por su media mantiene sin cambios el total de los coeficientes, así que

P

y

Q

tienen la misma suma de coeficientes. Como

P(1)

y

Q(1)

son iguales cada uno a esa suma,

P(1) = Q(1).

Por lo tanto las gráficas de

y = P(x)

y

y = Q(x)

deben cruzarse en

x = 1.

La única opción que muestra una intersección en

x = 1

es la gráfica B. (Allí,

P(x) = 2x^4 - 3x^2 - 3x - 4

y

Q(x) = -2x^4 - 2x^2 - 2x - 2.

)

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Replacing the nonzero coefficients by their mean keeps the total of the coefficients unchanged, so

P

and

Q

have the same coefficient sum. Since

P(1)

and

Q(1)

each equal that sum,

P(1) = Q(1).

Therefore the graphs of

y = P(x)

and

y = Q(x)

must cross at

x = 1.

The only choice showing an intersection at

x = 1

is graph B. (There,

P(x) = 2x^4 - 3x^2 - 3x - 4

and

Q(x) = -2x^4 - 2x^2 - 2x - 2.

)

Thus, the correct answer is B.