2002 AMC 12A Problema 12

Question

Ambas raíces de la ecuación cuadrática

x^2 - 63x + k = 0

son números primos. El número de valores posibles de

k

es

Both roots of the quadratic equation

x^2 - 63x + k = 0

are prime numbers. The number of possible values of

k

is

0

1

2

4

más de cuatro

more than four

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta primo paridad

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Si las raíces son los primos

p

y

q,

entonces

p + q = 63

.

If the roots are primes

p

and

q,

then

p + q = 63

Pista grande:

Una suma impar obliga a que uno de los primos sea

2

.

An odd sum forces one of the primes to be

2

Solución:

Si las raíces son los primos

p

y

q,

entonces por las fórmulas de Vieta

p + q = 63

y

pq = k.

Como

63

es impar, uno de los primos debe ser par, es decir

2,

y el otro es

61.

Ambos son primos, así que

k = 2\cdot 61 = 122

es el único valor posible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the roots are primes

p

and

q,

then by Vieta’s formulas

p + q = 63

and

pq = k.

Since

63

is odd, one prime must be even, namely

2,

and the other is

61.

Both are prime, so

k = 2\cdot 61 = 122

is the only possible value.

Thus, the correct answer is B.