1999 AMC 12 Problema 20

Question

La sucesión

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

satisface

a_1 = 19,

a_9 = 99,

y, para todo

n \ge 3,

a_n

es la media aritmética de los primeros

n - 1

términos. Halla

a_2.

The sequence

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

satisfies

a_1 = 19,

a_9 = 99,

and, for all

n \ge 3,

a_n

is the arithmetic mean of the first

n - 1

terms. Find

a_2.

29

59

79

99

179

Muestra que

a_n

es constante para todo

n \ge 3

.

Show that

a_n

is constant for all

n \ge 3

Entonces

a_3 = a_9 = 99

y

a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2}

.

Then

a_3 = a_9 = 99

and

a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2}

Para

n \ge 3,

(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}.

Entonces

a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n,

así que la sucesión es constante a partir de

a_3

en adelante. Por lo tanto

a_3 = a_9 = 99.

Como

a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99,

obtenemos

a_2 = 179.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For

n \ge 3,

(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}.

Then

a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n,

so the sequence is constant from

a_3

onward. Hence

a_3 = a_9 = 99.

Since

a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99,

we get

a_2 = 179.

Thus, the correct answer is E.

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