1999 AMC 12 Problema 18

Question

¿Cuántos ceros tiene

f(x) = \cos(\log x)

en el intervalo

0 \lt x \lt 1

?

How many zeros does

f(x) = \cos(\log x)

have on the interval

0 \lt x \lt 1?

0

1

2

10

infinitos

infinitely many

Cuando

x

recorre

(0, 1),

¿qué valores toma

\log x

?

As

x

ranges over

(0, 1),

what values does

\log x

take?

\log x

cubre todos los números negativos, y el coseno se anula en infinitos de ellos.

\log x

covers all negative numbers, and cosine vanishes at infinitely many of them

Cuando

x

recorre

(0, 1),

\log x

recorre todos los números reales negativos. La función coseno es cero en

\tfrac{\pi}{2} - n\pi

para todo entero positivo

n,

todos ellos negativos, así que

f

tiene infinitos ceros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

As

x

ranges over

(0, 1),

\log x

ranges over all negative real numbers. The cosine function is zero at

\tfrac{\pi}{2} - n\pi

for every positive integer

n,

all of which are negative, so

f

has infinitely many zeros.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 18 en otros años