1991 AMC 12 Problema 18

Question

Si

S

es el conjunto de puntos

z

del plano complejo tales que

(3+4i)z

es un número real, entonces

S

es una

If

S

is the set of points

z

in the complex plane such that

(3+4i)z

is a real number, then

S

is a

triángulo rectángulo

right triangle

circunferencia

circle

hipérbola

hyperbola

recta

line

parábola

parabola

Respuesta: D

Conceptos:complex plane real and imaginary parts locus

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Escribe

z=x+yi

y desarrolla el producto

Write

z=x+yi

and expand the product

Pista grande:

Iguala a cero la parte imaginaria de

(3+4i)(x+yi)

Set the imaginary part of

(3+4i)(x+yi)

equal to zero

Solución:

Al escribir

z=x+yi,

obtenemos

\begin{aligned} (3+4i)z &=(3x-4y)\\ &\quad +(4x+3y)i. \end{aligned}

Esta expresión es real exactamente cuando

4x+3y=0,

que es la ecuación de una recta que pasa por el origen.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing

z=x+yi,

\begin{aligned} (3+4i)z &=(3x-4y)\\ &\quad +(4x+3y)i. \end{aligned}

This is real exactly when

4x+3y=0,

which is the equation of a line through the origin.

Thus the correct answer is D.