Sea f la función definida por f(x)=ax^2-√2 para cierto a positivo. Si f(f(√2))=-√2, entonces a=

1990 AMC 12 Problema 12

Intenta el Problema 12 del 1990 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1990 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Sea

f

la función definida por

f(x)=ax^2-\sqrt2

para cierto

a

positivo. Si

f(f(\sqrt2))=-\sqrt2,

entonces

a=

Let

f

be the function defined by

f(x)=ax^2-\sqrt2

for some positive

a.

f(f(\sqrt2))=-\sqrt2,

then

a=

\frac{2-\sqrt2}{2}

\frac12

2-\sqrt2

\frac{\sqrt2}{2}

\frac{2+\sqrt2}{2}

Para

a

positivo, ¿cuándo puede

f(y)

ser igual a

-\sqrt2

For positive

a,

when can

f(y)

equal

-\sqrt2?

Iguala a cero el valor interior

f(\sqrt2)

Set the inner value

f(\sqrt2)

equal to zero

Como

a\gt0,

la ecuación

f(y)=ay^2-\sqrt2=-\sqrt2

obliga a que

y=0.

Por tanto,

f(\sqrt2)=2a-\sqrt2=0,

de modo que

a=\frac{\sqrt2}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because

a\gt0,

the equation

f(y)=ay^2-\sqrt2=-\sqrt2

forces

y=0.

Hence

f(\sqrt2)=2a-\sqrt2=0,

a=\frac{\sqrt2}{2}.

Thus the correct answer is D.