1988 AMC 12 Problema 25

Question

X,

Y

y

Z

son conjuntos de personas disjuntos dos a dos. Las edades promedio de las personas en los conjuntos

X,

Y,

Z,

X\cup Y,

X\cup Z

y

Y\cup Z

se muestran en la tabla siguiente.

Conjunto	$X$	$Y$	$Z$	$X\cup Y$	$X\cup Z$	$Y\cup Z$
Edad promedio de las personas del conjunto	$37$	$23$	$41$	$29$	$39.5$	$33$

Halla la edad promedio de las personas del conjunto

X\cup Y\cup Z.

X,

Y,

and

Z

are pairwise disjoint sets of people. The average ages of people in the sets

X,

Y,

Z,

X\cup Y,

X\cup Z,

and

Y\cup Z

are given in the table below.

Set	$X$	$Y$	$Z$	$X\cup Y$	$X\cup Z$	$Y\cup Z$
Average age of people in the set	$37$	$23$	$41$	$29$	$39.5$	$33$

Find the average age of the people in the set

X\cup Y\cup Z.

33

33.5

33.66

33.833

34

Sean

x,y,z

los tamaños de los tres conjuntos

Let

x,y,z

be the sizes of the three sets

Cada promedio de una unión proporciona una relación lineal entre

x,y,z

Each union average gives a linear relation among

x,y,z

Sean

x,y,z

los tamaños de los conjuntos. Los tres promedios de las uniones dan

\begin{aligned} 37x+23y&=29(x+y),\\ 37x+41z&=39.5(x+z), \end{aligned}

y

23y+41z=33(y+z).

Por tanto,

y=\frac{4x}{3}

y

z=\frac{5x}{3}.

El promedio total es

\frac{\begin{gathered} 37x+23(\frac{4x}{3})\\ {}+41(\frac{5x}{3}) \end{gathered}} {x+\frac{4x}{3}+\frac{5x}{3}}=34.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Let the set sizes be

x,y,z.

The three union averages give

\begin{aligned} 37x+23y&=29(x+y),\\ 37x+41z&=39.5(x+z), \end{aligned}

and

23y+41z=33(y+z).

Thus

y=\frac{4x}{3}

and

z=\frac{5x}{3}.

The total average is

\frac{\begin{gathered} 37x+23(\frac{4x}{3})\\ {}+41(\frac{5x}{3}) \end{gathered}} {x+\frac{4x}{3}+\frac{5x}{3}}=34.

Thus the correct answer is E.

El Problema 25 en otros años