1955 AMC 12 Problema 12

Question

La solución de

\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2

es:

The solution of

\sqrt{5x-1}+\sqrt{x-1}=2

is:

x=2,

x=1

x=\dfrac23

x=2

x=1

x=0

La restricción del dominio real de

\sqrt{x-1}

da

x\ge1

The real-domain restriction

\sqrt{x-1}

gives

x\ge1

Prueba el extremo más sencillo antes de elevar al cuadrado la ecuación

Test the simplest endpoint before squaring the equation

El dominio exige

x\ge1.

Para

x=1,

el lado izquierdo es

2+0=2,

así que

x=1

funciona. Para ver que no hay otra solución, observa que ambos radicales son no decrecientes cuando

x\ge1,

y

\sqrt{5x-1}

es estrictamente creciente. Por lo tanto, la suma es mayor que

2

para todo

x>1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The domain requires

x\ge1.

At

x=1,

the left side is

2+0=2,

so

x=1

works. To see that there is no other solution, note that both radicals are nondecreasing for

x\ge1,

and

\sqrt{5x-1}

is strictly increasing. Therefore the sum exceeds

2

for every

x>1.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 12 en otros años