Question

整数 $a,\ b$ 和 $c$ 满足 $ab+c=100$ ， $bc+a=87$ ，且 $ca+b=60$ 。求 $ab+bc+ca$ ？

Integers $a,\ b,$ and $c$ satisfy $ab+c=100,$ $bc+a=87,$ and $ca+b=60.$ What is $ab+bc+ca?$

$212$

$247$

$258$

$276$

$284$

答案：D

知识点：方程组因式分解分类讨论

难度评级：1890

解答：

两两相减得到 $(a-c)(b-1)=13$ $b$ ，以及 $14,2,-12,0$ 。因为 $a=c+(a-c)$ 是质数，情况不多；测试后得到 $ab+c=100$ ，它们满足原来的三个方程。于是 $15c=86$ $3c=74$ 。因此正确答案是 D。 $b=-12$ $c=-8$ $a=-9$ ， $b=0$ $(a,c)=(87,100)$ ， $ca+b=60$ 。 $(-9,-12,-8)$ ， $ab+bc+ca$ $=108+96+72=276$ 。 $\begin{gathered} (a-c,b-1)\in\{(1,13),(13,1),\\ (-1,-13),(-13,-1)\}. \end{gathered}$

Subtracting the second equation from the first gives $(a-c)(b-1)=13.$ Hence $\begin{gathered} (a-c,b-1)\in\{(1,13),(13,1),\\ (-1,-13),(-13,-1)\}. \end{gathered}$ The corresponding values of $b$ are $14,2,-12,0.$ Substituting $a=c+(a-c)$ into $ab+c=100$ eliminates the first two cases because they would require $15c=86$ or $3c=74.$ The case $b=-12$ gives $c=-8$ and $a=-9,$ which satisfies all three equations. The case $b=0$ gives $(a,c)=(87,100),$ which fails $ca+b=60.$ Thus the unique integer solution is $(-9,-12,-8),$ and $ab+bc+ca$ $=108+96+72=276.$ Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A 第 17 题

答案：D

难度评级：1890

解答：

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