2022 AMC 12A 第 17 题

Question

设

a

为实数，使得方程

a\cdot(\sin x+\sin(2x))=\sin(3x)

在区间

(0,\pi)

中有多于一个解。所有这样的

a

组成的集合可写为

(p,q)\cup(q,r)

，其中

p

、

q

和

r

是满足

p\lt q\lt r

的实数。求

p+q+r

？

Suppose

a

is a real number such that the equation

a\cdot(\sin x+\sin(2x))=\sin(3x)

has more than one solution in the interval

(0,\pi).

The set of all such

a

can be written in the form

(p,q)\cup(q,r),

where

p,

q,

and

r

are real numbers with

p\lt q\lt r.

What is

p+q+r?

-4

-1

0

1

4

答案：A

知识点：三角恒等式分类讨论

难度评级：1990

小提示：

使用

\sin 2x=2\sin x\cos x

和

\sin 3x=\sin x(4\cos^2 x-1)

Use

\sin 2x=2\sin x\cos x

and

\sin 3x=\sin x(4\cos^2 x-1)

大提示：

除以

\sin x

后，注意

x=\dfrac{2\pi}{3}

（此时

\cos x=-\tfrac12

）总是一个解

After dividing by

\sin x,

note

x=\dfrac{2\pi}{3}

(where

\cos x=-\tfrac12

) is always a solution

解答：

在

(0,\pi)

上，

\sin x\ne0

，所以两边除以

\sin x

：

\begin{gathered} a(1+2\cos x)=4\cos^2 x-1 \\ =(2\cos x-1)(2\cos x+1) \end{gathered}\text{。}

当

\cos x=-\tfrac12

（即

x=\tfrac{2\pi}{3}

）时，两边都为零，因此这对每个

a

都是一个解。否则可以约去

1+2\cos x

得

a=2\cos x-1

，即

\cos x=\dfrac{a+1}{2}

。

它给出

(0,\pi)

中第二个解的条件正是

-1\lt\dfrac{a+1}{2}\lt1

，即

a\in(-3,1)

，且当

a=-2

时这个解与

x=\tfrac{2\pi}{3}

相同，不是不同的解。

因此有多于一个解时，

a\in(-3,-2)\cup(-2,1)

，所以

p+q+r=-3-2+1=-4

。

因此，正确答案是 A。

Since

\sin x\ne0

on

(0,\pi),

divide by

\sin x:

\begin{gathered} a(1+2\cos x)=4\cos^2 x-1 \\ =(2\cos x-1)(2\cos x+1). \end{gathered}

When

\cos x=-\tfrac12

(that is,

x=\tfrac{2\pi}{3}

) both sides vanish, so this is a solution for every

a.

Otherwise we may cancel

1+2\cos x

to get

a=2\cos x-1,

i.e.

\cos x=\dfrac{a+1}{2}.

This yields a second solution in

(0,\pi)

exactly when

-1\lt\dfrac{a+1}{2}\lt1,

that is

a\in(-3,1),

and it is distinct from

x=\tfrac{2\pi}{3}

unless

a=-2.

So more than one solution occurs for

a\in(-3,-2)\cup(-2,1),

giving

p+q+r=-3-2+1=-4.

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12A 第 17 题

答案：A

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

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