2021 AMC 12A Fall 第 17 题

Question

有多少个正整数有序对

(b, c)

，使得

x^2 + bx + c = 0

和

x^2 + cx + b = 0

都没有两个不同的实数解？

For how many ordered pairs

(b, c)

of positive integers does neither

x^2 + bx + c = 0

nor

x^2 + cx + b = 0

have two distinct real solutions?

4

6

8

12

16

答案：B

知识点：二次方程不等式

难度评级：1910

小提示：

“没有两个不同的实数解”表示每个判别式都

\le 0

：

b^2 \le 4c

且

c^2 \le 4b

。

“No two distinct real solutions” means each discriminant is

\le 0:

b^2 \le 4c

and

c^2 \le 4b

大提示：

相乘得

b^2c^2 \le 16bc

，所以

bc \le 16

；检验小的正整数

Multiplying gives

b^2c^2 \le 16bc,

so

bc \le 16;

test small positive integers

解答：

两个二次方程都没有两个不同实根，当且仅当两个判别式都非正：

b^2 \le 4c

且

c^2 \le 4b

。

把

c\ge \frac{b^2}{4}

与

c\le2\sqrt b

结合，得到

b^{\frac{3}{2}}\le8

，所以

b\le4

。逐一检查：

b = 1

时

c \in \{1,2\}

；

b = 2

时

c \in \{1,2\}

；

b = 3

时

c = 3

；

b = 4

时

c = 4

。

这些为

(1,1)

、

(1,2)

、

(2,1)

、

(2,2)

、

(3,3)

、

(4,4)

，共

6

个有序对。

所以正确答案是 B。

Neither quadratic has two distinct real roots exactly when both discriminants are nonpositive:

b^2 \le 4c

and

c^2 \le 4b.

Combining

c\ge \frac{b^2}{4}

with

c\le2\sqrt b

gives

b^{\frac{3}{2}}\le8,

so

b\le4.

Checking:

b = 1

gives

c \in \{1,2\};

b = 2

gives

c \in \{1,2\};

b = 3

gives

c = 3;

and

b = 4

gives

c = 4.

That is

(1,1),

(1,2),

(2,1),

(2,2),

(3,3),

(4,4)

—

6

ordered pairs.

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12A Fall 第 17 题

答案：B

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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