2017 AMC 12A 第 17 题

先试着解答 2017 AMC 12A 第 17 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2017 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

有

24

个不同的复数

z

满足

z^{24}=1

。其中有多少个使得

z^6

是实数？

There are

24

different complex numbers

z

such that

z^{24}=1.

For how many of these is

z^6

a real number?

0

4

6

12

24

答案：D

知识点：单位根复数

难度评级：1910

小提示：

对

k=0,1,\ldots,23

，写成

z=e^{\frac{\pi i k}{12}}

。

Write

z=e^{\frac{\pi i k}{12}}

for

k=0,1,\ldots,23

大提示：

此时

z^6=e^{\frac{\pi i k}{2}}

，它为实数当且仅当

k

为偶数

Then

z^6=e^{\frac{\pi i k}{2}},

which is real exactly when

k

is even

解答：

这

24

个解是

24

次单位根，即

z=e^{\frac{\pi i k}{12}}

，其中

k=0,1,\ldots,23

。

于是

z^6=e^{\frac{\pi i k}{2}}=\cos\dfrac{k\pi}{2}+i\sin\dfrac{k\pi}{2}

，它为实数当且仅当

\sin\dfrac{k\pi}{2}=0

，即

k

为偶数。这个范围内有

12

个偶数

k

。

所以正确答案是 D。

The

24

solutions are the

24

th roots of unity,

z=e^{\frac{\pi i k}{12}}

for

k=0,1,\ldots,23.

Then

z^6=e^{\frac{\pi i k}{2}}=\cos\dfrac{k\pi}{2}+i\sin\dfrac{k\pi}{2},

which is real exactly when

\sin\dfrac{k\pi}{2}=0,

i.e. when

k

is even. There are

12

even values of

k

in the range.

Thus, the correct answer is D.

其他年份的第 17 题