2014 AMC 12A 第 17 题

Question

一个

4\times4\times h

的长方体盒子内装有一个半径为

2

的球和八个半径为

1

的小球。每个小球都与盒子的三个面相切，大球与每个小球相切。

h

是多少？

A

4\times4\times h

rectangular box contains a sphere of radius

2

and eight smaller spheres of radius

1.

The smaller spheres are each tangent to three sides of the box, and the larger sphere is tangent to each of the smaller spheres. What is

h?

2+2\sqrt7

3+2\sqrt5

4+2\sqrt7

4\sqrt5

4\sqrt7

答案：A

知识点：立体几何球勾股定理

难度评级：1800

小提示：

上方四个小球的球心形成边长为

2

的正方形，大球球心在其正下方的盒子轴线上。

The four top small-sphere centers form a square of side

2

, directly below the big sphere’s center

大提示：

球心距为

3

（半径和），水平偏移为

\sqrt2

，所以竖直差为

\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7

；再加上上下各

1

。

With center distance

3

(sum of radii) and horizontal offset

\sqrt2

, the vertical gap is

\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7

; then add

1

at the top and bottom

解答：

把盒子的一个角放在原点。每个小球位于一个角落，其球心到相邻三个面各相距

1

。上方四个小球的球心构成边长为

2

的正方形，正方形中心在盒子的中轴线上，一个顶点到中心的距离为

\sqrt2

。

大球球心在中轴线上，到每个上方小球球心的距离为

2+1=3

，因此两者的竖直距离为

\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7

。

大球球心的高度是

\dfrac h2

，上方小球球心的高度是

h-1

，所以

(h-1)-\dfrac h2=\sqrt7

。由此

\dfrac h2=1+\sqrt7

，并得到

h=2+2\sqrt7

。

所以正确答案是 A。

Place the box with a corner at the origin. Each small sphere sits in a corner with center

1

unit from three faces. The four top small-sphere centers form a square of side

2,

whose center lies on the box axis; a corner of that square is

\sqrt2

from the center.

The big sphere’s center is on the axis, at distance

2+1=3

from each top small center. The vertical gap between them is

\sqrt{3^2-\sqrt2^2}=\sqrt7.

The big center is at height

\dfrac h2

and the top small centers at height

h-1,

so

(h-1)-\dfrac h2=\sqrt7,

giving

\dfrac h2=1+\sqrt7

and

h=2+2\sqrt7.

Thus, the correct answer is A.

2014 AMC 12A 第 17 题

答案：A

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

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