Question

正方形 $PQRS$ 位于第一象限。点 $(3, 0)$ ， $(5, 0)$ ， $(7, 0)$ ，和 $(13, 0)$ 分别在线 $SP$ ， $RQ$ ， $PQ$ ，和 $SR$ 上。正方形 $PQRS$ 的中心坐标之和是多少？

Square $PQRS$ lies in the first quadrant. Points $(3, 0),$ $(5, 0),$ $(7, 0),$ and $(13, 0)$ lie on lines $SP,$ $RQ,$ $PQ,$ and $SR,$ respectively. What is the sum of the coordinates of the center of the square $PQRS?$

$6$

$6.2$

$6.4$

$6.6$

$6.8$

答案：C

知识点：坐标几何斜率方程组

难度评级：1910

解答：

设 $\theta$ 为直线 $PQ$ 与 $x$ -轴所成的锐角。边 $SR=PQ$ 在从 $(3,0)$ 到 $(5,0)$ 的线段上投影为 $2\cos\theta$ 而边 $SP=QR$ 在从 $(7,0)$ 到 $(13,0)$ 的线段上投影为 $6\sin\theta$ 。

因为正方形的边长相等， $2\cos\theta=6\sin\theta$ ，所以 $\tan\theta=\tfrac13$ 。因此直线 $SP,RQ$ 的斜率为 $3$ ，直线 $SR,PQ$ 的斜率为 $-\tfrac13$ 。

中心位于过 $(4,0)$ 且斜率为 $3$ 的直线上，也位于过 $(10,0)$ 且斜率为 $-\tfrac13$ 的直线上：两线交于 $(4.6,1.8)$ 。 $y=3(x-4),$ $y=-\tfrac13(x-10).$

坐标之和为 $4.6+1.8=6.4$ 。

因此正确答案是 C。

Let $\theta$ be the acute angle line $PQ$ makes with the $x$ -axis. Sides $SR=PQ$ span the segment from $(3,0)$ to $(5,0)$ as $2\cos\theta,$ while $SP=QR$ span the segment from $(7,0)$ to $(13,0)$ as $6\sin\theta.$

Since the square has equal sides, $2\cos\theta=6\sin\theta,$ so $\tan\theta=\tfrac13.$ Thus lines $SP,RQ$ have slope $3$ and lines $SR,PQ$ have slope $-\tfrac13.$

The center lies on the line through $(4,0)$ with slope $3$ and the line through $(10,0)$ with slope $-\tfrac13:$ $y=3(x-4),$ $y=-\tfrac13(x-10).$ These meet at $(4.6,1.8).$

The sum of the coordinates is $4.6+1.8=6.4.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12B 第 17 题

答案：C

难度评级：1910

解答：

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