2012 AMC 12B 第 17 题

Question

正方形

PQRS

位于第一象限。点

(3, 0)

，

(5, 0)

，

(7, 0)

，和

(13, 0)

分别在线

SP

，

RQ

，

PQ

，和

SR

上。正方形

PQRS

的中心坐标之和是多少？

Square

PQRS

lies in the first quadrant. Points

(3, 0),

(5, 0),

(7, 0),

and

(13, 0)

lie on lines

SP,

RQ,

PQ,

and

SR,

respectively. What is the sum of the coordinates of the center of the square

PQRS?

6

6.2

6.4

6.6

6.8

答案：C

知识点：坐标几何斜率方程组

难度评级：1910

小提示：

设

\theta

为直线

PQ

与

x

-轴所成的角；正方形条件会联系给定线段的投影

Let

\theta

be the angle line

PQ

makes with the

x

-axis; the square condition relates the projections of the given segments

大提示：

由

2\cos\theta=6\sin\theta

得

\tan\theta=\tfrac13

，再求过中点

(4,0)

与

(10,0)

的两条直线的交点

From

2\cos\theta=6\sin\theta

get

\tan\theta=\tfrac13,

then intersect the two lines through the midpoints

(4,0)

and

(10,0)

解答：

设

\theta

为直线

PQ

与

x

-轴所成的锐角。边

SR=PQ

在从

(3,0)

到

(5,0)

的线段上投影为

2\cos\theta

，而边

SP=QR

在从

(7,0)

到

(13,0)

的线段上投影为

6\sin\theta

。

因为正方形的边长相等，

2\cos\theta=6\sin\theta

，所以

\tan\theta=\tfrac13

。因此直线

SP,RQ

的斜率为

3

，直线

SR,PQ

的斜率为

-\tfrac13

。

中心位于过

(4,0)

且斜率为

3

的直线上，也位于过

(10,0)

且斜率为

-\tfrac13

的直线上：

y=3(x-4)\text{，}

y=-\tfrac13(x-10)\text{。}

两线交于

(4.6,1.8)

。

坐标之和为

4.6+1.8=6.4

。

因此正确答案是 C。

Let

\theta

be the acute angle line

PQ

makes with the

x

-axis. Sides

SR=PQ

span the segment from

(3,0)

to

(5,0)

as

2\cos\theta,

while

SP=QR

span the segment from

(7,0)

to

(13,0)

as

6\sin\theta.

Since the square has equal sides,

2\cos\theta=6\sin\theta,

so

\tan\theta=\tfrac13.

Thus lines

SP,RQ

have slope

3

and lines

SR,PQ

have slope

-\tfrac13.

The center lies on the line through

(4,0)

with slope

3

and the line through

(10,0)

with slope

-\tfrac13:

y=3(x-4),

y=-\tfrac13(x-10).

These meet at

(4.6,1.8).

The sum of the coordinates is

4.6+1.8=6.4.

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12B 第 17 题

答案：C

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题