2006 AMC 12A 第 17 题

Question

正方形

ABCD

的边长为

s

，以

E

为圆心的圆半径为

r

，且

r

与

s

都是有理数。该圆经过

D

，且

D

在

\overline{BE}

上。点

F

在圆上，并且与

A

在

\overline{BE}

的同侧。线段

AF

与圆相切，且

AF = \sqrt{9 + 5\sqrt{2}}

。

\frac{r}{s}

是多少？

Square

ABCD

has side length

s,

a circle centered at

E

has radius

r,

and

r

and

s

are both rational. The circle passes through

D,

and

D

lies on

\overline{BE}.

Point

F

lies on the circle, on the same side of

\overline{BE}

as

A.

Segment

AF

is tangent to the circle, and

AF = \sqrt{9 + 5\sqrt{2}}.

What is

\frac{r}{s}?

\dfrac{1}{2}

\dfrac{5}{9}

\dfrac{3}{5}

\dfrac{5}{3}

\dfrac{9}{5}

答案：B

知识点：圆幂切线坐标几何

难度评级：1910

小提示：

切线长度满足

AF^2 = AE^2 - r^2

。

The tangent length satisfies

AF^2 = AE^2 - r^2

大提示：

将

B

放在原点；则

9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2}

，再比较有理部分和无理部分。

Place

B

at the origin; then

9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2},

and match rational and irrational parts

解答：

设

B = (0, 0)

，

C = (s, 0)

，

A = (0, s)

，

D = (s, s)

，因此

E = \left(s + \tfrac{r}{\sqrt{2}},\ s + \tfrac{r}{\sqrt{2}}\right)

在射线

BD

上。

因为

AF

是圆的切线，

AF^2 = AE^2 - r^2

。计算

AE^2

并化简，得到

9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2}

。

因为

r

和

s

都是有理数，有理部分和无理部分分别相等：

s^2 = 9

，

rs = 5

。因此

s = 3,\ r = \tfrac{5}{3}

，所以

\frac{r}{s} = \tfrac{5}{9}

。

因此，正确答案是 B。

Set

B = (0, 0),

C = (s, 0),

A = (0, s),

D = (s, s),

so that

E = \left(s + \tfrac{r}{\sqrt{2}},\ s + \tfrac{r}{\sqrt{2}}\right)

lies on ray

BD.

Since

AF

is tangent to the circle,

AF^2 = AE^2 - r^2.

Computing

AE^2

and simplifying gives

9 + 5\sqrt{2} = s^2 + rs\sqrt{2}.

Because

r

and

s

are rational, the rational and irrational parts match:

s^2 = 9

and

rs = 5.

Thus

s = 3,\ r = \tfrac{5}{3},

and

\frac{r}{s} = \tfrac{5}{9}.

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 12A 第 17 题

答案：B

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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