2001 AMC 12 第 17 题

Question

从顶点为

A = (0, 2)

、

B = (4, 0)

、

C = (2\pi + 1, 0)

、

D = (2\pi + 1, 4)

和

E = (0, 4)

的五边形内部随机选取一点

P

。

\angle APB

为钝角的概率是多少？

A point

P

is selected at random from the interior of the pentagon with vertices

A = (0, 2),

B = (4, 0),

C = (2\pi + 1, 0),

D = (2\pi + 1, 4),

and

E = (0, 4).

What is the probability that

\angle APB

is obtuse?

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{5}{16}

\dfrac{3}{8}

\dfrac{1}{2}

答案：C

知识点：几何概率圆周角面积

难度评级：1790

小提示：

\angle APB

是钝角，恰好当

P

位于以

AB

为直径的圆内

\angle APB

is obtuse exactly when

P

lies inside the circle having

AB

as diameter

大提示：

这个半圆完全位于五边形内，所以比较它的面积与五边形的面积

That semicircle lies entirely inside the pentagon, so compare its area to the pentagon’s area

解答：

当

P

在以

AB

为直径的圆上时，

\angle APB = 90^\circ

。该圆的圆心为

(2, 1)

，半径为

\dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}

。当

P

在这个圆内时，该角为钝角。

相关的半圆完全在五边形内，面积为

\dfrac{1}{2}\pi(\sqrt{5})^2 = \dfrac{5\pi}{2}

。

该五边形等于顶点为

(0,0)

，

C

，

D

，

E

的矩形减去三角形

OAB

，所以面积为

4(2\pi + 1) - \dfrac{1}{2}(2)(4) = 8\pi\text{。}

概率为

\dfrac{\frac{5\pi}{2}}{8\pi} = \dfrac{5}{16}

。

因此，正确答案是 C。

\angle APB = 90^\circ

when

P

is on the circle with diameter

AB,

centered at

(2, 1)

with radius

\dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}.

The angle is obtuse when

P

is inside this circle.

The relevant half-disk lies wholly within the pentagon, with area

\dfrac{1}{2}\pi(\sqrt{5})^2 = \dfrac{5\pi}{2}.

The pentagon is the rectangle with corners

(0,0),

C,

D,

E

minus triangle

OAB,

so its area is

4(2\pi + 1) - \dfrac{1}{2}(2)(4) = 8\pi.

The probability is

\dfrac{\frac{5\pi}{2}}{8\pi} = \dfrac{5}{16}.

Thus, the correct answer is C.

2001 AMC 12 第 17 题

答案：C

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

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