2025 AMC 12A Problema 18

Question

¿Cuántas ternas ordenadas

(x, y, z)

de enteros no negativos distintos y menores o iguales que

8

satisfacen

xy \gt z,

zx \gt y,

y

yz \gt x

?

How many ordered triples

(x, y, z)

of distinct nonnegative integers less than or equal to

8

satisfy

xy \gt z,

zx \gt y,

and

yz \gt x?

36

84

186

336

486

Respuesta: C

Conceptos:desigualdad permutaciones simetría

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Ninguno de

x, y, z

puede ser

0,

ya que entonces algún producto es igual a

0

y no puede superar un valor no negativo

None of

x, y, z

can be

0,

since then some product equals

0

and cannot exceed a nonnegative value

Pista grande:

Para

a \lt b \lt c,

distintos, la única condición vinculante es

ab \gt c

; cuenta tales subconjuntos de

3

elementos, luego multiplica por

6

For distinct

a \lt b \lt c,

the only binding condition is

ab \gt c

; count such

3

-subsets, then multiply by

6

Solución:

Si alguna variable es

0,

por ejemplo

z = 0,

entonces

zx = 0 \gt y

es imposible. Así,

x, y, z \in \{1, \ldots, 8\}

son enteros positivos distintos.

Las condiciones son simétricas. Para valores distintos

a \lt b \lt c,

tenemos automáticamente

ac \gt b

y

bc \gt a

, así que la única restricción real es

ab \gt c.

Cuando se cumple, funcionan los

6

órdenes.

Para cada posible valor mínimo

a,

los números de pares

a\lt b\lt c\le8

que satisfacen

ab\gt c

son

\begin{array}{c|rrrrrr} a&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{conteo}&0&11&10&6&3&1. \end{array}

Para

a,b

fijos, este conteo se obtiene eligiendo

c

entre

b+1

y

\min(8,ab-1).

Así, hay

31

ternas no ordenadas, y funcionan los

6

órdenes de cada una. La respuesta es

6\cdot31=186.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

If any variable is

0,

say

z = 0,

then

zx = 0 \gt y

is impossible. So

x, y, z \in \{1, \ldots, 8\}

are distinct positive integers.

The conditions are symmetric. For distinct values

a \lt b \lt c,

we have

ac \gt b

and

bc \gt a

automatically, so the only real constraint is

ab \gt c.

When it holds, all

6

orderings work.

For each possible smallest value

a,

the numbers of pairs

a\lt b\lt c\le8

satisfying

ab\gt c

are

\begin{array}{c|rrrrrr} a&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{count}&0&11&10&6&3&1. \end{array}

For fixed

a,b,

this count comes from choosing

c

between

b+1

and

\min(8,ab-1).

Thus there are

31

unordered triples, and all

6

orderings of each work. The answer is

6\cdot31=186.

Thus, the correct answer is C.