2024 AMC 12B Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2024 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Supón que

A,

B,

y

C

son puntos en el plano con

AB = 40

y

AC = 42,

y sea

x

la longitud del segmento desde

A

hasta el punto medio de

\overline{BC}.

Define una función

f

tomando

f(x)

como el área de

\triangle ABC.

Entonces el dominio de

f

es un intervalo abierto

(p, q),

y el valor máximo

r

de

f(x)

ocurre en

x = s.

¿Cuánto vale

p + q + r + s

?

Suppose

A,

B,

and

C

are points in the plane with

AB = 40

and

AC = 42,

and let

x

be the length of the line segment from

A

to the midpoint of

\overline{BC}.

Define a function

f

by letting

f(x)

be the area of

\triangle ABC.

Then the domain of

f

is an open interval

(p, q),

and the maximum value

r

of

f(x)

occurs at

x = s.

What is

p + q + r + s?

909

910

911

912

913

Respuesta: C

Conceptos:mediana (geometría)desigualdad triangular optimización

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

La mediana satisface

x^2 = \dfrac{2\cdot 40^2 + 2\cdot 42^2 - a^2}{4},

donde

a = BC;

la desigualdad triangular

2 \lt a \lt 82

determina el dominio.

The median satisfies

x^2 = \dfrac{2\cdot 40^2 + 2\cdot 42^2 - a^2}{4},

where

a = BC;

the triangle inequality

2 \lt a \lt 82

determines the domain

Pista grande:

El área es máxima cuando

\angle A = 90^\circ;

encuentra esa área máxima y el

x

correspondiente.

The area is largest when

\angle A = 90^\circ;

find that maximum area and the corresponding

x

Solución:

Sea

a = BC.

La longitud de la mediana da

x^2

= \dfrac{2\cdot 1600 + 2\cdot 1764 - a^2}{4}

= \dfrac{6728 - a^2}{4}.

La desigualdad triangular requiere

2 \lt a \lt 82,

es decir

4 \lt a^2 \lt 6724,

lo que se traduce en

1 \lt x \lt 41.

Así que

(p, q) = (1, 41).

Con

AB = 40

y

AC = 42

fijos, el área

\tfrac12\cdot 40\cdot 42\sin A

es máxima cuando

\angle A = 90^\circ,

dando

r = 840.

Entonces

a^2 = 40^2 + 42^2 = 3364,

así que

x^2 = \dfrac{6728 - 3364}{4} = 841,

es decir

s = 29.

Así

p + q + r + s

= 1 + 41 + 840 + 29

= 911.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

a = BC.

The median length gives

x^2

= \dfrac{2\cdot 1600 + 2\cdot 1764 - a^2}{4}

= \dfrac{6728 - a^2}{4}.

The triangle inequality requires

2 \lt a \lt 82,

i.e.

4 \lt a^2 \lt 6724,

which translates to

1 \lt x \lt 41.

So

(p, q) = (1, 41).

With

AB = 40

and

AC = 42

fixed, the area

\tfrac12\cdot 40\cdot 42\sin A

is largest when

\angle A = 90^\circ,

giving

r = 840.

Then

a^2 = 40^2 + 42^2 = 3364,

so

x^2 = \dfrac{6728 - 3364}{4} = 841,

i.e.

s = 29.

Thus

p + q + r + s

= 1 + 41 + 840 + 29

= 911.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 20 en otros años