2024 AMC 12A Problema 18

Question

Sobre una tarjeta rectangular con lados de longitud

1

y

2+\sqrt3,

se coloca una tarjeta idéntica de modo que dos de sus diagonales coincidan, como se muestra (

AC,

en este caso).

Two congruent rectangular cards sharing the diagonal AC, with the second card rotated.

Continúa el proceso, agregando una tercera tarjeta a la segunda, y así sucesivamente, alineando diagonales sucesivas tras rotar en sentido horario. En total, ¿cuántas tarjetas deben usarse hasta que un vértice de una nueva tarjeta caiga exactamente sobre el vértice etiquetado

B

en la figura?

On top of a rectangular card with sides of length

1

and

2+\sqrt3,

an identical card is placed so that two of their diagonals line up, as shown (

AC,

in this case).

Continue the process, adding a third card to the second, and so on, lining up successive diagonals after rotating clockwise. In total, how many cards must be used until a vertex of a new card lands exactly on the vertex labeled

B

in the figure?

6

8

10

12

Ningún vértice nuevo caerá sobre

B.

No new vertex will land on

B.

Respuesta: A

Conceptos:transformación trigonometría

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

La diagonal forma un ángulo

\arctan\dfrac{1}{2+\sqrt3}=15^\circ

con el lado largo, ya que

\dfrac{1}{2+\sqrt3}=2-\sqrt3

The diagonal makes angle

\arctan\dfrac{1}{2+\sqrt3}=15^\circ

with the long side, since

\dfrac{1}{2+\sqrt3}=2-\sqrt3

Pista grande:

Las dos diagonales se cortan formando

30^\circ;

sigue la diagonal libre a medida que se añaden cinco tarjetas nuevas

The two diagonals meet at

30^\circ;

track the unused diagonal as five new cards are added

Solución:

Una diagonal forma un ángulo

\theta

con un lado largo, donde

\tan\theta=\dfrac{1}{2+\sqrt3}

=2-\sqrt3=\tan15^\circ.

Por tanto, el ángulo agudo entre las dos diagonales de una tarjeta es

2\theta=30^\circ.

Cada tarjeta nueva comparte una diagonal con la tarjeta anterior, y su otra diagonal es la siguiente recta que se obtiene al girar

30^\circ

en sentido horario. Todas estas diagonales iguales tienen el mismo punto medio y son diámetros de una misma circunferencia. La recta que contiene la otra diagonal de la tarjeta original, y que pasa por

B,

está girada

30^\circ

en sentido antihorario respecto de

AC.

Como recta no orientada, equivale a estar girada

150^\circ

en sentido horario respecto de

AC.

Cinco adiciones hacen avanzar la diagonal libre

5\cdot30^\circ=150^\circ,

así que la sexta tarjeta es la primera tarjeta nueva que tiene un vértice en

B.

Así, la respuesta correcta es A.

A diagonal makes an angle

\theta

with a long side, where

\tan\theta=\dfrac{1}{2+\sqrt3}

=2-\sqrt3=\tan15^\circ.

Thus the acute angle between the two diagonals of a card is

2\theta=30^\circ.

Each new card shares one diagonal with the previous card, and its other diagonal is the next line obtained by turning

30^\circ

clockwise. All these equal diagonals have the same midpoint and are diameters of one common circle. The line through the original card’s other diagonal, which contains

B,

is

30^\circ

counterclockwise from

AC.

As an unoriented line, this is the same as

150^\circ

clockwise from

AC.

Five additions advance the unused diagonal by

5\cdot30^\circ=150^\circ,

so the sixth card is the first new card with a vertex at

B.

Thus, the correct answer is A.