2023 AMC 12A Problema 21

Question

Si

A

y

B

son vértices de un poliedro, define la distancia

d(A,B)

como el número mínimo de aristas del poliedro que hay que recorrer para conectar

A

y

B.

Por ejemplo, si

\overline{AB}

es una arista del poliedro, entonces

d(A,B)=1,

pero si

\overline{AC}

y

\overline{CB}

son aristas y

\overline{AB}

no es una arista, entonces

d(A,B)=2.

Sean

Q,

R,

y

S

vértices distintos elegidos al azar de un icosaedro regular (poliedro regular formado por

20

triángulos equiláteros). ¿Cuál es la probabilidad de que

d(Q,R)\gt d(R,S)

?

If

A

and

B

are vertices of a polyhedron, define the distance

d(A,B)

to be the minimum number of edges of the polyhedron one must traverse in order to connect

A

and

B.

For example, if

\overline{AB}

is an edge of the polyhedron, then

d(A,B)=1,

but if

\overline{AC}

and

\overline{CB}

are edges and

\overline{AB}

is not an edge, then

d(A,B)=2.

Let

Q,

R,

and

S

be randomly chosen distinct vertices of a regular icosahedron (regular polyhedron made up of

20

equilateral triangles). What is the probability that

d(Q,R)\gt d(R,S)?

\dfrac{7}{22}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{3}{8}

\dfrac{5}{12}

\dfrac{1}{2}

Respuesta: A

Conceptos:teoría de grafos probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Fija

R.

Los otros

11

vértices se reparten en

5

a distancia

1,

5

a distancia

2,

y

1

a distancia

3

Fix

R.

The other

11

vertices split into

5

at distance

1,

5

at distance

2,

and

1

at distance

3

Pista grande:

Por simetría

P(d(Q,R)\gt d(R,S))

=\dfrac{1-P(\text{iguales})}{2}

By symmetry

P(d(Q,R)\gt d(R,S))

=\dfrac{1-P(\text{equal})}{2}

Solución:

Fija

R.

Entre los otros

11

vértices del icosaedro,

5

están a distancia

1,

5

están a distancia

2,

y

1

(el antípoda) está a distancia

3.

Al elegir

Q,S,

distintos y ordenados, la probabilidad de que

d(Q,R)=d(R,S)

es

\dfrac{5\cdot 4+5\cdot 4}{11\cdot 10}=\dfrac{40}{110}=\dfrac{4}{11}.

Por la simetría entre

Q

y

S,

\begin{gathered} P(d(Q,R)\gt d(R,S))\\ {}=\dfrac{1-\tfrac{4}{11}}{2}\\ {}=\dfrac{7}{22}. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Fix

R.

Among the other

11

vertices of the icosahedron,

5

are at distance

1,

5

are at distance

2,

and

1

(the antipode) is at distance

3.

Choosing ordered distinct

Q,S,

the probability that

d(Q,R)=d(R,S)

is

\dfrac{5\cdot 4+5\cdot 4}{11\cdot 10}=\dfrac{40}{110}=\dfrac{4}{11}.

By the symmetry between

Q

and

S,

\begin{gathered} P(d(Q,R)\gt d(R,S))\\ {}=\dfrac{1-\tfrac{4}{11}}{2}\\ {}=\dfrac{7}{22}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12A Problema 21

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años