2023 AMC 12A Problema 20

Question

A continuación se muestran las filas

1,

2,

3,

4,

y

5

de un arreglo triangular de enteros.

\begin{array}{ccccccccc} &&&&1&&&&\\ &&&1&&1&&&\\ &&1&&3&&1&&\\ &1&&5&&5&&1&\\ 1&&7&&11&&7&&1 \end{array}

Cada fila después de la primera se forma colocando un

1

en cada extremo de la fila, y cada entrada interior es

1

mayor que la suma de los dos números diagonalmente por encima de ella en la fila anterior. ¿Cuál es el dígito de las unidades de la suma de los

2023

números de la fila

2023

?

Rows

1,

2,

3,

4,

and

5

of a triangular array of integers are shown below.

\begin{array}{ccccccccc} &&&&1&&&&\\ &&&1&&1&&&\\ &&1&&3&&1&&\\ &1&&5&&5&&1&\\ 1&&7&&11&&7&&1 \end{array}

Each row after the first row is formed by placing a

1

at each end of the row, and each interior entry is

1

greater than the sum of the two numbers diagonally above it in the previous row. What is the units digit of the sum of the

2023

numbers in the

2023

rd row?

1

3

5

7

9

Respuesta: C

Conceptos:recursión dígito de las unidades

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Sea

S_n

la suma de la fila

n;

cada entrada interior añade dos copias de la fila de arriba más un

1

Let

S_n

be the sum of row

n;

each interior entry adds two copies of the row above plus a

1

Pista grande:

Esto da

S_n=2S_{n-1}+(n-2),

cuya forma cerrada es

S_n=2^n-n

This yields

S_n=2S_{n-1}+(n-2),

whose closed form is

S_n=2^n-n

Solución:

Sea

S_n

la suma de la fila

n.

Cada entrada interior es

1

más que la suma de las dos entradas por encima de ella, y sumar sobre la fila da la recurrencia

S_n=2S_{n-1}+(n-2).

Con

S_1=1,

esto se resuelve como

S_n=2^n-n

(verificación:

S_5=32-5=27

=1+7+11+7+1

).

Así que

S_{2023}=2^{2023}-2023.

Como las potencias de

2

tienen dígitos de las unidades que ciclan

2,4,8,6

y

2023\equiv 3\pmod 4,

2^{2023}

termina en

8.

Entonces

8-3=5

da dígito de las unidades

5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

S_n

be the sum of row

n.

Each interior entry is

1

more than the sum of the two entries above it, and summing over the row gives the recurrence

S_n=2S_{n-1}+(n-2).

With

S_1=1,

this solves to

S_n=2^n-n

(check:

S_5=32-5=27

=1+7+11+7+1

).

So

S_{2023}=2^{2023}-2023.

Since powers of

2

cycle with units digits

2,4,8,6

and

2023\equiv 3\pmod 4,

2^{2023}

ends in

8.

Then

8-3=5

gives units digit

5.

Thus, the correct answer is C.