2023 AMC 12A Problema 18

Question

Los círculos

C_1

y

C_2

tienen cada uno radio

1,

y la distancia entre sus centros es

\tfrac12.

El círculo

C_3

es el mayor círculo tangente internamente a

C_1

y

C_2.

El círculo

C_4

es tangente internamente a

C_1

y

C_2

y tangente externamente a

C_3.

¿Cuál es el radio de

C_4

?

Circle

C_1

and

C_2

each have radius

1,

and the distance between their centers is

\tfrac12.

Circle

C_3

is the largest circle internally tangent to both

C_1

and

C_2.

Circle

C_4

is internally tangent to both

C_1

and

C_2

and externally tangent to

C_3.

What is the radius of

C_4?

\dfrac{1}{14}

\dfrac{1}{12}

\dfrac{1}{10}

\dfrac{3}{28}

\dfrac{1}{9}

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Por simetría

C_3

tiene su centro en el punto medio de

C_1C_2;

su radio es

1-\tfrac14=\tfrac34

By symmetry

C_3

is centered at the midpoint of

C_1C_2;

its radius is

1-\tfrac14=\tfrac34

Pista grande:

Coloca

C_4

sobre la mediatriz; su centro está a

1-r

del centro de un círculo unitario y a

\tfrac34+r

del centro de

C_3

Place

C_4

on the perpendicular bisector; its center is

1-r

from a unit circle’s center and

\tfrac34+r

from the center of

C_3

Solución:

Coloca los centros en

O_1=\left(-\tfrac14,0\right)

y

O_2=\left(\tfrac14,0\right).

Por simetría

C_3

tiene su centro en el origen, y la tangencia interna a

C_1

da radio

1-\tfrac14=\tfrac34.

Sea

C_4

de radio

r,

con centro en

(0,k)

sobre el eje de simetría. La tangencia externa a

C_3

da

k=\tfrac34+r,

y la tangencia interna a

C_1

da

\sqrt{\tfrac{1}{16}+k^2}=1-r.

Sustituyendo,

\tfrac{1}{16}+\left(\tfrac34+r\right)^2=(1-r)^2,

que se simplifica a

\tfrac72 r=\tfrac38,

así que

r=\dfrac{3}{28}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Put the centers at

O_1=\left(-\tfrac14,0\right)

and

O_2=\left(\tfrac14,0\right).

By symmetry

C_3

is centered at the origin, and internal tangency to

C_1

gives radius

1-\tfrac14=\tfrac34.

Let

C_4

have radius

r,

centered at

(0,k)

on the axis of symmetry. External tangency to

C_3

gives

k=\tfrac34+r,

and internal tangency to

C_1

gives

\sqrt{\tfrac{1}{16}+k^2}=1-r.

Substituting,

\tfrac{1}{16}+\left(\tfrac34+r\right)^2=(1-r)^2,

which simplifies to

\tfrac72 r=\tfrac38,

so

r=\dfrac{3}{28}.

Thus, the correct answer is D.

2023 AMC 12A Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años