Question

Sea $S$ el conjunto de circunferencias del plano de coordenadas que son tangentes a cada una de las tres circunferencias de ecuaciones $x^2 + y^2 = 4,$ $x^2 + y^2 = 64,$ y $(x - 5)^2 + y^2 = 3.$ ¿Cuál es la suma de las áreas de todas las circunferencias de $S$ ?

Let $S$ be the set of circles in the coordinate plane that are tangent to each of the three circles with equations $x^2 + y^2 = 4,$ $x^2 + y^2 = 64,$ and $(x - 5)^2 + y^2 = 3.$ What is the sum of the areas of all circles in $S?$

$48\pi$

$68\pi$

$96\pi$

$102\pi$

$136\pi$

Respuesta: E

Conceptos:circunferencias tangentes área del círculo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Los dos primeros círculos son concéntricos y tienen radios $2$ y $8.$ Un círculo tangente a ambos tiene radio $3$ y su centro está a distancia $5$ del origen, o tiene radio $5$ y su centro está a distancia $3$ del origen.

El tercer círculo tiene centro $(5, 0)$ y radio $\sqrt3.$ Para cada radio candidato $s\in\{3,5\},$ la tangencia exige que la distancia de su centro a $(5,0)$ sea $s+\sqrt3$ o $s-\sqrt3.$ Cada uno de estos dos círculos de distancias corta al lugar geométrico correspondiente de los centros en dos puntos simétricos. Por tanto, funcionan exactamente cuatro círculos de radio $3$ y cuatro de radio $5$ .

La suma de sus áreas es $4 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2$ $= 36\pi + 100\pi = 136\pi.$

Así, la respuesta correcta es E.

The first two circles are concentric with radii $2$ and $8.$ A circle tangent to both either has radius $3$ with center at distance $5$ from the origin, or radius $5$ with center at distance $3$ from the origin.

The third circle has center $(5, 0)$ and radius $\sqrt3.$ For each candidate radius $s\in\{3,5\},$ tangency requires the center's distance from $(5,0)$ to be $s+\sqrt3$ or $s-\sqrt3.$ Each of these two distance circles intersects the appropriate center-locus in two symmetric points. Hence exactly four radius- $3$ circles and four radius- $5$ circles work.

The sum of the areas is $4 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2$ $= 36\pi + 100\pi = 136\pi.$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12B Problema 21

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

El Problema 21 en otros años