2022 AMC 12B Problema 21

Question

Sea

S

el conjunto de circunferencias del plano de coordenadas que son tangentes a cada una de las tres circunferencias de ecuaciones

x^2 + y^2 = 4,

x^2 + y^2 = 64,

y

(x - 5)^2 + y^2 = 3.

¿Cuál es la suma de las áreas de todas las circunferencias de

S

?

Let

S

be the set of circles in the coordinate plane that are tangent to each of the three circles with equations

x^2 + y^2 = 4,

x^2 + y^2 = 64,

and

(x - 5)^2 + y^2 = 3.

What is the sum of the areas of all circles in

S?

48\pi

68\pi

96\pi

102\pi

136\pi

Respuesta: E

Conceptos:circunferencias tangentes área del círculo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Una circunferencia tangente a las dos circunferencias concéntricas (radios

2

y

8

) tiene radio

3

o radio

5

.

A circle tangent to both concentric circles (radii

2

and

8

) has radius

3

or radius

5

Pista grande:

Las circunferencias de radio

3

tienen centros sobre la circunferencia de radio

5;

las de radio

5

sobre la circunferencia de radio

3.

Cuenta cuántas de cada una son también tangentes a la tercera circunferencia.

The radius-

3

circles have centers on the circle of radius

5;

the radius-

5

circles on the circle of radius

3.

Count how many of each are also tangent to the third circle

Solución:

Los dos primeros círculos son concéntricos y tienen radios

2

y

8.

Un círculo tangente a ambos tiene radio

3

y su centro está a distancia

5

del origen, o tiene radio

5

y su centro está a distancia

3

del origen.

El tercer círculo tiene centro

(5, 0)

y radio

\sqrt3.

Para cada radio candidato

s\in\{3,5\},

la tangencia exige que la distancia de su centro a

(5,0)

sea

s+\sqrt3

o

s-\sqrt3.

Cada uno de estos dos círculos de distancias corta al lugar geométrico correspondiente de los centros en dos puntos simétricos. Por tanto, funcionan exactamente cuatro círculos de radio

3

y cuatro de radio

5

.

La suma de sus áreas es

4 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2

= 36\pi + 100\pi = 136\pi.

Así, la respuesta correcta es E.

The first two circles are concentric with radii

2

and

8.

A circle tangent to both either has radius

3

with center at distance

5

from the origin, or radius

5

with center at distance

3

from the origin.

The third circle has center

(5, 0)

and radius

\sqrt3.

For each candidate radius

s\in\{3,5\},

tangency requires the center’s distance from

(5,0)

to be

s+\sqrt3

or

s-\sqrt3.

Each of these two distance circles intersects the appropriate center-locus in two symmetric points. Hence exactly four radius-

3

circles and four radius-

5

circles work.

The sum of the areas is

4 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2

= 36\pi + 100\pi = 136\pi.

Thus, the correct answer is E.