Question

Cada casilla de una cuadrícula $5 \times 5$ está llena o vacía, y tiene hasta ocho casillas vecinas adyacentes, donde las casillas vecinas comparten un lado o una esquina. La cuadrícula se transforma según las siguientes reglas:

Toda casilla llena con dos o tres vecinas llenas permanece llena. Toda casilla vacía con exactamente tres vecinas llenas se convierte en llena. Todas las demás casillas permanecen vacías o se vuelven vacías.

En la figura de abajo se muestra una transformación de ejemplo.

Supón que la cuadrícula $5 \times 5$ tiene un borde de casillas vacías que rodea una subcuadrícula $3 \times 3$ . ¿Cuántas configuraciones iniciales llevan a una cuadrícula transformada que consiste en una sola casilla llena en el centro tras una única transformación? (Las rotaciones y reflexiones de la misma configuración se consideran diferentes.)

Each square in a $5 \times 5$ grid is either filled or empty, and has up to eight adjacent neighboring squares, where neighboring squares share either a side or a corner. The grid is transformed by the following rules:

Any filled square with two or three filled neighbors remains filled. Any empty square with exactly three filled neighbors becomes a filled square. All other squares remain empty or become empty.

A sample transformation is shown in the figure below.

Suppose the $5 \times 5$ grid has a border of empty squares surrounding a $3 \times 3$ subgrid. How many initial configurations will lead to a transformed grid consisting of a single filled square in the center after a single transformation? (Rotations and reflections of the same configuration are considered different.)

$14$

$18$

$22$

$26$

$30$

Respuesta: C

Conceptos:simulación de procesos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2000

Solución:

Solo las casillas de la $3 \times 3$ interior pueden comenzar llenas. Para que el centro quede lleno después, si empezó vacío necesita exactamente $3$ vecinas llenas, y si empezó lleno necesita $2$ o $3.$

Toda otra casilla debe terminar vacía. $3 \times 3.$

La restricción clave es que ninguna casilla del borde puede adquirir exactamente tres vecinas llenas, lo que descarta llenar las tres casillas a lo largo de un borde exterior de la $3$ $8$ $(0,0),$ $8,4,4,4,$ $20$ $\begin{gathered} \{(-1,-1),(-1,0),(1,1)\},\\ \{(-1,-1),(-1,1),(1,-1)\},\\ \{(-1,-1),(-1,1),(1,0)\},\\ \{(-1,-1),(0,1),(1,0)\}. \end{gathered}$

Enumerando las disposiciones sujetas a estas condiciones, se encuentra que toda configuración válida tiene exactamente tres casillas llenas: hay $20+2=22.$ con el centro inicialmente vacío y con el centro inicialmente lleno, para en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Only the inner $3 \times 3$ squares can start filled. For the center to be filled afterward, if it began empty it needs exactly $3$ filled neighbors, and if it began filled it needs $2$ or $3.$

Every other square must end empty. The key restriction is that no border square may acquire exactly three filled neighbors, which rules out filling all three squares along an outer edge of the $3 \times 3.$

If the center starts empty, exactly $3$ of its $8$ neighbors must be filled. Checking these triples up to square symmetry leaves four types. With ring coordinates centered at $(0,0),$ representatives are $\begin{gathered} \{(-1,-1),(-1,0),(1,1)\},\\ \{(-1,-1),(-1,1),(1,-1)\},\\ \{(-1,-1),(-1,1),(1,0)\},\\ \{(-1,-1),(0,1),(1,0)\}. \end{gathered}$ Their symmetry-orbit sizes are $8,4,4,4,$ giving $20$ configurations.

If the center starts filled, the same neighbor check leaves only the two configurations in which the other filled cells are opposite corner neighbors. Hence the total is $20+2=22.$

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12B Problema 18

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2000

Solución:

El Problema 18 en otros años