2022 AMC 12A Problema 21

Question

Sea

P(x)=x^{2022}+x^{1011}+1.

¿Cuál de los siguientes polinomios divide a

P(x)

?

Let

P(x)=x^{2022}+x^{1011}+1.

Which of the following polynomials divides

P(x)?

x^2-x+1

x^2+x+1

x^4+1

x^6-x^3+1

x^6+x^3+1

Respuesta: E

Conceptos:raíces de la unidad polinomio

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Un divisor

D(x)

funciona si y solo si toda raíz

\zeta

de

D

satisface

\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0

A divisor

D(x)

works iff every root

\zeta

of

D

satisfies

\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0

Pista grande:

Para

x^6+x^3+1

las raíces son las raíces

9

-ésimas primitivas de la unidad, así que

\zeta^3

es una raíz cúbica primitiva de la unidad

For

x^6+x^3+1

the roots are primitive

9

th roots of unity, so

\zeta^3

is a primitive cube root of unity

Solución:

Si

\zeta

es una raíz de un divisor, entonces se requiere

P(\zeta)=\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0

.

Las raíces de

x^6+x^3+1

son las raíces

9

-ésimas primitivas de la unidad, así que

\zeta^9=1.

Reduciendo los exponentes módulo

9,

2022\equiv6

y

1011\equiv3,

lo que da

\zeta^6+\zeta^3+1.

Aquí

\omega=\zeta^3

es una raíz cúbica primitiva de la unidad, así que esto es igual a

\omega^2+\omega+1=0.

Las otras cuatro opciones fallan: sustituir sus raíces produce valores no nulos (por ejemplo, las raíces cúbicas primitivas de la unidad dan

P=3

).

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If

\zeta

is a root of a divisor, then

P(\zeta)=\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0

is required.

The roots of

x^6+x^3+1

are the primitive

9

th roots of unity, so

\zeta^9=1.

Reducing exponents modulo

9,

2022\equiv6

and

1011\equiv3,

giving

\zeta^6+\zeta^3+1.

Here

\omega=\zeta^3

is a primitive cube root of unity, so this equals

\omega^2+\omega+1=0.

The other four options fail: substituting their roots yields nonzero values (for instance, the primitive cube roots of unity give

P=3

).

Thus, the correct answer is E.