2022 AMC 12A Problema 20

Question

El trapecio isósceles

ABCD

tiene lados paralelos

\overline{AD}

y

\overline{BC},

con

BC\lt AD

y

AB=CD.

Hay un punto

P

en el plano tal que

PA=1,

PB=2,

PC=3,

y

PD=4.

¿Cuánto vale

\dfrac{BC}{AD}

?

Isosceles trapezoid

ABCD

has parallel sides

\overline{AD}

and

\overline{BC},

with

BC\lt AD

and

AB=CD.

There is a point

P

in the plane such that

PA=1,

PB=2,

PC=3,

and

PD=4.

What is

\dfrac{BC}{AD}?

\dfrac14

\dfrac13

\dfrac12

\dfrac23

\dfrac34

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica trapecio simetría

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Coloca

A=(-p,0),

D=(p,0),

B=(-q,h),

C=(q,h),

simétricos respecto al eje

y

Put

A=(-p,0),

D=(p,0),

B=(-q,h),

C=(q,h),

symmetric about the

y

-axis

Pista grande:

Tanto

PA^2-PD^2

como

PB^2-PC^2

son iguales a un múltiplo de la coordenada

x

de

P

Both

PA^2-PD^2

and

PB^2-PC^2

equal a multiple of the

x

-coordinate of

P

Solución:

Coloca el trapecio simétrico respecto al eje

y

:

A=(-p,0),

D=(p,0),

B=(-q,h),

C=(q,h),

con

P=(x,y).

Entonces

PA^2-PD^2=4px

=1-16=-15

y

PB^2-PC^2=4qx

=4-9=-5.

Dividiendo se obtiene

\dfrac{p}{q}=3.

Como

AD=2p

y

BC=2q,

obtenemos

\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{q}{p}=\dfrac13.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place the trapezoid symmetric about the

y

-axis:

A=(-p,0),

D=(p,0),

B=(-q,h),

C=(q,h),

with

P=(x,y).

Then

PA^2-PD^2=4px

=1-16=-15

and

PB^2-PC^2=4qx

=4-9=-5.

Dividing gives

\dfrac{p}{q}=3.

Since

AD=2p

and

BC=2q,

we get

\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{q}{p}=\dfrac13.

Thus, the correct answer is B.