2022 AMC 12A Problema 18

Question

Sea

T_k

la transformación del plano coordenado que primero rota el plano

k

grados en sentido antihorario alrededor del origen y luego lo refleja respecto al eje

y

. ¿Cuál es el menor entero positivo

n

tal que realizar la secuencia de transformaciones

T_1,

T_2,

T_3,

\ldots,

T_n

devuelve el punto

(1,0)

a sí mismo?

Let

T_k

be the transformation of the coordinate plane that first rotates the plane

k

degrees counterclockwise around the origin and then reflects the plane across the

y

-axis. What is the least positive integer

n

such that performing the sequence of transformations

T_1,

T_2,

T_3,

\ldots,

T_n

returns the point

(1,0)

back to itself?

359

360

719

720

721

Respuesta: A

Conceptos:transformación análisis por casos

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Un punto en el ángulo

\theta

es enviado por

T_k

al ángulo

(180-k)-\theta

A point at angle

\theta

is sent by

T_k

to angle

(180-k)-\theta

Pista grande:

Rastrea el ángulo de

(1,0);

considera también el caso impar de

n,

donde la transformación neta es una reflexión

Track the angle of

(1,0);

also consider odd

n,

where the net map is a reflection

Solución:

Rotar un punto en el ángulo

\theta

en

k^\circ

da

\theta+k,

y reflejar respecto al eje

y

envía el ángulo

\phi

a

180-\phi.

Así que

T_k

envía

\theta

a

(180-k)-\theta.

Partiendo de

(1,0)

en el ángulo

0,

aplicar

T_1,T_2,\ldots

da los ángulos

179,-1,178,-2,177,\ldots.

Después de un número par

2m

de pasos el ángulo es

-m,

y después de un número impar

2m+1

es

179-m.

Para que el punto regrese, el ángulo debe ser un múltiplo de

360^\circ.

El caso par requiere

m=360,

es decir

n=720.

El caso impar requiere

179-m=0,

es decir

m=179

y

n=359,

donde la reflexión neta fija

(1,0).

El menor

n

de este tipo es

359.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Rotating a point at angle

\theta

by

k^\circ

gives

\theta+k,

and reflecting across the

y

-axis sends angle

\phi

to

180-\phi.

So

T_k

sends

\theta

to

(180-k)-\theta.

Starting from

(1,0)

at angle

0,

applying

T_1,T_2,\ldots

gives angles

179,-1,178,-2,177,\ldots.

After an even number

2m

of steps the angle is

-m,

and after an odd number

2m+1

it is

179-m.

For the point to return, the angle must be a multiple of

360^\circ.

The even case needs

m=360,

i.e.

n=720.

The odd case needs

179-m=0,

i.e.

m=179

and

n=359,

where the net reflection fixes

(1,0).

The least such

n

is

359.

Thus, the correct answer is A.